SATZ 2.9.2. Wir betrachten eine Folge von Funktionen $f_n\in C([0,+\infty \left[,ℝ\right)$, $n\in \mathbb{N}$, so daß die uneigentlichen Integrale

$${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{f}_n\left(x\right)dx=\underset{R\to \infty }{lim}{\int \; <!--nolimits-->}_0^R{f}_n\left(x\right)dx\text{gleichmäßig bezüglich}n\in \mathbb{N}$$

(2.9.2.1)

konvergieren und außerdem für jedes fixierte $R\in ℝ$ die Funktionenreihe

konvergiert. Dann existieren das uneigentliche Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }f\left(x\right)dx$ sowie die Reihe ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\int <!--nolimits-->}_0^{\infty }{f}_n\left(x\right)dx$ und es gilt

AUFGABE 2.9.3. Führen Sie Satz 2.9.2 selbständig auf Satz 2.9.1 zurück!