Parameterabhangige uneigentliche Integrale. Integration bezuglich des Parameters.

2.9.5. Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Integration bezüglich des Parameters.

SATZ 2.9.7. Es sei $f \in C ([a, b] \times [0, + \infty [, ℝ)$ und das uneigentliche Integral

J (x) = \int_{0}^{\infty} f (x, y) d y

konvergiere gleichmäßig bezüglich $x \in [a, b]$ . Dann gilt

\int_{a}^{b} (\int_{0}^{\infty} f (x, y) d y) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y .

$▸$ Nach Satz 2.9.5 ist $J (x) = \int_{0}^{\infty} f (x, y) d y$ stetig und damit Riemann-integrierbar. Desweiteren gilt nach Satz 2.7.2

\int_{a}^{b} (\int_{0}^{R} f (x, y) d y) d x = \int_{0}^{R} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y, R \geq 0 .

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von

lim_{R \to \infty} J_{R} (x) = J (x), J_{R} (x) = \int_{0}^{R} f (x, y) d y,

bezüglich $x \in [a, b]$ kann man durch Übergang zu einer Folge $R_{k} \to \infty$ den Grenzwert $lim_{R \to \infty}$ nach Satz 2.5.1 mit dem Integral $\int_{a}^{b} d x$ vertauschen, d.h.

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d x & = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{a}^{b} (\int_{0}^{R} f (x, y) d y) d x \\ = & \int_{a}^{b} (lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} f (x, y) d y) d x \\ = & \int_{a}^{b} (\int_{0}^{\infty} f (x, y) d y) d x . \end{array}

$◂$

AUFGABE 2.9.8. Vervollständigen Sie die Details zum Vertauschen von $lim_{R \to \infty}$ und $\int_{a}^{b} d x$ .

Alle Ergebnisse dieses Punktes lassen sich auf Funktion mit Werten in $K^{d}$ erweitern.

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