Der Zusammenhang zwischen der Beta- und der Gammafunktion.

2.12.4. Der Zusammenhang zwischen der Beta- und der Gammafunktion.

Substituiert man in der Definition (2.12.3.1) für $Γ$ die Integrationsvariable $x = (t + 1) y$ , $t > 0$ , so erhält man

Γ (a + b) = \int_{0}^{\infty} x^{a + b} e^{- x} \frac{d x}{x} = t^{a + b} \int_{0}^{\infty} y^{a + b} e^{- t y} \frac{d y}{y} .

Daraus erhält man insbesondere

Γ (a + b) {(t + 1)}^{- (a + b)} t^{a - 1} = \int_{0}^{\infty} t^{a - 1} y^{a + b - 1} e^{- (1 + t) y} d y, t > 0 .

(2.12.4.1)

Wir berechnen nun auf der linken und rechten Seite dieser Identität das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} d t$ . Dazu merken wir zunächst an, daß

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} {(t + 1)}^{- (a + b)} t^{a - 1} d t & \overset{(s = t + 1)}{=} & \int_{1}^{\infty} s^{- (a + b) + 1} {(s - 1)}^{a - 1} \frac{d s}{s} \\ \overset{(u = s^{- 1})}{=} & - \int_{1}^{0} u^{a + b - 1} {(u^{- 1} - 1)}^{a - 1} \frac{d u}{u} \\ = & \int_{0}^{1} u^{b - 1} {(1 - u)}^{a - 1} d u = B (b, a) \end{array}

und damit auch

\int_{0}^{\infty} Γ (a + b) {(t + 1)}^{- (a + b)} t^{a - 1} d t = Γ (a + b) B (a, b) = : A

(2.12.4.2)

gilt. Bei der Integration der rechten Seite von (2.12.4.1) ist der Ausdruck

A = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} t^{a - 1} y^{a + b - 1} e^{- (1 + t) y} d y) d t

(2.12.4.3)

zu berechnen. Wegen

t^{a - 1} y^{a + b - 1} e^{- (1 + t) y} \leq (R^{a - 1} + ε^{a - 1}) y^{a + b - 1} e^{- y}, y > 0,

und der Konvergenz von $\int_{0}^{\infty} y^{a + b - 1} e^{- y} d y = Γ (a + b)$ konvergiert das uneigentliche Integral

\int_{0}^{\infty} t^{a - 1} y^{a + b - 1} e^{- (1 + t) y} d y

nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig bezüglich $t \in [ε, R]$ für fixierte $0 < ε \leq R < \infty$ . Es sei zunächst $a, b \geq 1$ . Dann besitzt das zu untersuchende Integral (2.12.4.3) nur eine Uneigentlichkeit in der Umgebung der unendlichen Integrationsgrenze. Nach Satz 2.9.7 folgt

\begin{array}{rcl} A & = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (\int_{0}^{\infty} t^{a - 1} y^{a + b - 1} e^{- (1 + t) y} d y) d t \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{R} t^{a - 1} y^{a + b - 1} e^{- (1 + t) y} d t) d y \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\infty} y^{a + b - 1} e^{- y} (\int_{0}^{R} t^{a - 1} e^{- t y} d t) d y \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\infty} y^{a + b - 1} e^{- y} (\int_{0}^{R} t^{a - 1} e^{- t y} d t) d y \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\infty} y^{b - 1} e^{- y} (\int_{0}^{R y} t^{a - 1} e^{- t} d t) d y . \end{array}

Weiterhin gilt

0 \leq Γ (a) - \int_{0}^{R y} t^{a - 1} e^{- t} d t = \int_{R y}^{\infty} t^{a - 1} e^{- t} d t \leq R^{a - 1} y^{a - 1} e^{- R y}

und damit auch für $a \geq 1$ und $b \geq 1$

\begin{array}{rcl} 0 & \leq & \int_{0}^{\infty} y^{b - 1} e^{- y} Γ (a) d y - \int_{0}^{\infty} y^{b - 1} e^{- y} (\int_{0}^{R y} t^{a - 1} e^{- t} d t) d y \\ = & \int_{0}^{\infty} y^{b - 1} e^{- y} (Γ (a) - \int_{0}^{R y} t^{a - 1} e^{- t} d t) d y \\ \leq & \int_{0}^{\infty} R^{a - 1} y^{a + b - 2} e^{- y} e^{- R y} d y \\ \leq & R^{- b} \int_{0}^{\infty} {(R y)}^{a + b - 2} e^{- R y} d (R y) \\ = & R^{- b} \int_{0}^{\infty} t^{a + b - 2} e^{- t} d t = R^{- b} Γ (a + b - 1) . \end{array}

Daraus folgt

\begin{array}{rcl} A & = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{\infty} y^{b - 1} e^{- y} (\int_{0}^{R y} t^{a - 1} e^{- t} d t) d y \\ = & \int_{0}^{\infty} y^{b - 1} e^{- y} Γ (a) d y = Γ (a) Γ (b) . & (2.12.4.4) \end{array}

Die Gleichungen (2.12.4.2) und (2.12.4.4) ergeben schließlich

B (a, b) = \frac{Γ (a) Γ (b)}{Γ (a + b)}

(2.12.4.5)

für $a \geq 1$ , $b \geq 1$ . Ist $0 < a < 1$ , so benutzen wir nun (2.12.2.3) und (2.12.3.2) und erhalten

\begin{array}{rcl} B (a, b) = \frac{a + b}{a} B (a + 1, b) & = & \frac{a + b}{a} \frac{Γ (a + 1) Γ (b)}{Γ (a + b + 1)} \\ = & \frac{a + b}{a} \frac{a Γ (a) Γ (b)}{(a + b) Γ (a + b)} = \frac{Γ (a) Γ (b)}{Γ (a + b)} . \end{array}

Auf gleichem Weg erweitert man Formel (2.12.4.5 ) auch für $0 < b < 1$ und damit auf alle $a \geq 0$ und $b \geq 0$ .

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