Zum Beweis von Satz 2.13.1.

2.13.2. Zum Beweis von Satz 2.13.1.

Wir folgend der Darstellung in [Rudin].

Schritt 1: Durch eine affine Koordinatentransformation, welche Polynome wieder in Polynome überführt, läßt sich das Problem stets auf das Intervall $[a, b] = [0, 1]$ zurückführen. Desweiteren kann man o.B.d.A. annehmen, daß $f (0) = f (1) = 0$ gilt, denn eine allgemeine Funktion $g \in C ([a, b], ℂ)$ kann man durch Subtraktion des Polynoms $u (x) = x (g (1) - g (0)) + g (0)$ ersten Grades auf

f (x) = g (x) - u (x) mit f (0) = f (1) = 0

zurückführen. Approximiert dann die Folge von Polynome $P_{n}$ die Funktion $f$ , so konvergieren offensichtlich die Polynome $P_{n} + u$ gegen $f + u = g$ .

Verschwindet die stetige Funktion $f$ am Rand des Intervalles $[0, 1]$ , so läßt sich sich stetig mit $f (x) = 0$ , $x \in ℝ \ [0, 1]$ auf die gesamte reelle Achse fortsetzen. Nach dem Satz von Cantor ist $f$ auf $[0, 1]$ gleichmäßig stetig ist, und offensichtlich bleibt bei dieser Fortsetzung auf die reelle Achse diese Funktion auch gleichmäßig stetig auf $ℝ$ .

Schritt 2: Wir betrachten nun die Polynome

Q_{n} (x) : = c_{n} {(1 - x^{2})}^{n}, n \in ℕ .

Dabei seien die Koeffizienten $c_{n}$ so gewählt, daß

\int_{- 1}^{1} Q_{n} (x) d x = 1, n \in ℕ,

gilt. Dies ist immer möglich, da wegen ${(1 - x)}^{2} > 0$ für $x \in] - 1, 1 [$ das Integral $\int_{- 1}^{1} {(1 - x^{2})}^{n} d x$ stets einen positiven Wert annimmt, dabei gilt $c_{n} > 0$ für alle $n \in ℕ$ .

Wir benötigen im weiteren eine Abschätzung von oben an die Konstanten $c_{n}$ . Dazu merken wir zunächst an, daß

(1 - x^{2}) \geq 1 - n x^{2}, x \in [0, 1], n \in ℕ,

was sofort aus $h (0) = 0$ und $h^{'} (x) > 0$ mit $h (x) = {(1 - x^{2})}^{n} - 1 + n x^{2}$ für $x \in [0, 1]$ folgt. Dann ergibt die Rechnung

\begin{array}{rcl} \frac{1}{c_{n}} = \int_{- 1}^{1} {(1 - x^{2})}^{n} d x & = & 2 \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{n} d x \geq 2 \int_{0}^{n^{- \frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{n} d x \\ \geq & 2 \int_{0}^{n^{- \frac{1}{2}}} (1 - n x^{2}) d x \\ \overset{(y = \sqrt{n} x)}{=} & \frac{2}{\sqrt{n}} \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) d y = \frac{4}{3 \sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n}} & (2.13.2.1) \end{array}

die Ungleichung $c_{n} < \sqrt{n}$ für alle $n \in ℕ$ .

Wir fixieren nun ein beliebiges $δ \in] 0, 1 [$ . Dann gilt für $δ \leq | x | \leq 1$ und $q = 1 - δ^{2} \in] 0, 1 [$

0 \leq Q_{n} (x) = c_{n} {(1 - x^{2})}^{n} \leq \sqrt{n} {(1 - δ^{2})}^{n} = \sqrt{n} q^{n} \overset{n \to \infty}{\to} 0 .

(2.13.2.2)

Mit anderen Worten konvergiert $Q_{n} (x)$ für $n \to \infty$ gleichmäßig gegen Null bezüglich $x \in [- 1, - δ] \cup [δ, 1]$ .

Schritt 3: Es sei $f (x)$ die in Schritt 1 betrachtete stetige Funktion, welche für $x \leq 0$ sowie für $x \geq 1$ verschwindet. Für $x \in [0, 1]$ setzen wir

\begin{array}{rcl} P_{n} (x) & : = & \int_{- 1}^{1} f (x + t) Q_{n} (t) d t \overset{x \in [0, 1]}{=} \int_{- x}^{1 - x} f (x + t) Q_{n} (t) d t \\ \overset{(\tilde{t} = x + t)}{=} & \int_{0}^{1} f (\tilde{t}) Q_{n} (\tilde{t} - x) d \tilde{t} = c_{n} \int_{0}^{1} f (\tilde{t}) {(1 - {(\tilde{t} - x)}^{2})}^{n} d \tilde{t} . \end{array}

Da für jedes fixierte $\tilde{t} \in [0, 1]$

{(1 - {(\tilde{t} - x)}^{2})}^{n} = \sum_{k = 0}^{2 n} β_{k} (\tilde{t}) x^{k}

ein Polynom in $x$ darstellt, so gilt

P_{n} (x) = c_{n} \sum_{k = 0}^{2 n} α_{k} x^{k}, α_{k} = \int_{0}^{1} f (\tilde{t}) β_{k} (\tilde{t}) d \tilde{t} .

Damit ist $P_{n} (x)$ ebenfalls ein Polynom in $x \in [0, 1]$ .

Schritt 4: Zunächst erinnern wir, daß nach Schritt 1 die Funktion $f$ auf $ℝ$ beschränkt und gleichmäßig stetig ist, d.h.

\begin{array}{rcl} \forall_{ε > 0} \exists_{δ_{ε > 0}} \forall_{| x - y | < δ_{ε}} | f (x) - f (y) | < ε, & (2.13.2.3) \\ M = sup_{x \in ℝ} | f (x) | = max_{x \in [0, 1]} | f (x) | < \infty . & (2.13.2.4) \end{array}

Wir schätzen nun die Differenz $P_{n} (x) - f_{n} (x)$ für $x \in [0, 1]$ ab. Wegen $\int_{- 1}^{1} Q_{n} (t) d t$ gilt

\begin{array}{rcl} P_{n} (x) - f (x) & = & P_{n} (x) - f (x) \int_{- 1}^{1} Q_{n} (t) d t \\ = & \int_{- 1}^{1} f (x + t) Q_{n} (t) d t - \int_{- 1}^{1} f (x) Q_{n} (t) d t \end{array}

und damit wegen $Q_{n} (t) \geq 1$ für $t \in [- 1, 1]$ auch

| P_{n} (x) - f (x) | \leq \int_{- 1}^{1} | f (x + t) - f (x) | Q_{n} (t) d t, n \in ℕ .

(2.13.2.5)

Für ein beliebiges gegebenes $ε > 0$ wählen wir nun nach (2.13.2.3) ein entsprechendes $δ_{ε} \in] 0, 1 [$ . Da nach (2.13.2.4) und (2.13.2.2)

| f (x + t) - f (x) | \leq 2 M, x \in [0, 1], t \in [- 1, 1]

sowie

0 \leq Q_{n} (t) \leq \sqrt{n} q_{ε}^{n}, q_{ε} = (1 - δ_{ε}^{2}) \in] 0, 1 [, | t | \geq δ > 0_{ε},

gilt, so folgt

\begin{array}{rcl} \int_{- 1}^{- δ_{ε}} | f (x + t) - f (x) | Q_{n} (t) d t & \leq & 2 M \sqrt{n} q_{ε}^{n}, & (2.13.2.6) \\ \int_{δ_{ε}}^{1} | f (x + t) - f (x) | Q_{n} (t) d t & \leq & 2 M \sqrt{n} q_{ε}^{n}, & (2.13.2.7) \end{array}

für alle $x \in [0, 1]$ . Da außerdem nach (2.13.2.3)

| f (x + t) - f (x) | \leq ε für | t | < δ_{ε} < 1, x \in [0, 1],

so gilt wiederum wegen $Q_{n} (t) \geq 0$ für $t \in [- 1, 1]$

\int_{- δ_{ε}}^{δ_{ε}} | f (x + t) - f (x) | Q_{n} (t) d t \leq ε \int_{- δ_{ε}}^{δ_{ε}} Q_{n} (t) d t \leq ε \int_{- 1}^{1} Q_{n} (t) d t \leq ε

(2.13.2.8)

für beliebiges $x \in [0, 1]$ . Faßt man (2.13.2.5), (2.13.2.6), (2.13.2.7) und (2.13.2.8) zusammen, so erhält man schließlich die Abschätzung

| P_{n} (x) - f (x) | \leq 4 M \sqrt{n} q_{ε}^{n} + ε, x \in [0, 1], n \in ℕ .

Dabei ist für gegebenes $ε > 0$ der Wert von $q_{ε} \in] 0, 1 [$ unabhängig von $n$ . Da $\sqrt{n} q_{ε}^{n} \to 0$ für $n \to \infty$ , so kann man ein $N_{ε} \in ℕ$ so finden, daß $\sqrt{n} q_{ε}^{n} \leq 4^{- 1} M^{- 1} ε$ für $n \geq N_{ε}$ und damit

| P_{n} (x) - f (x) | \leq 2 ε, x \in [0, 1], n \geq N_{ε} .

Damit konvergiert die Folge von Polynomen $P_{n} (x)$ gleichmäßig bezüglich $x \in [0, 1]$ gegen $f (x)$ .

[prev] [prev-tail] [front] [up]