Die Formulierung des Satzes.

2.13.1. Die Formulierung des Satzes.

Der folgende Satz diskutiert, inwieweit man stetige Funtionen auf einem beschränkten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren kann.

SATZ 2.13.1. Es sei $f \in C ([a, b], ℂ)$ . Dann existiert eine Folge von Polynomen $P_{n} (x)$ , so daß

lim_{n \to \infty} P_{n} (x) = f (x) gleichmäßig  bezüglich x \in [a, b] .

(2.13.1.1)

Wir haben bereits im Abschnitt 2.3.3 in Zusammenhang mit Satz 2.1.2 diskutiert, das hier gleichmäßige Konvergenz der Konvergenz im Funktionenraum $C ([a, b], ℂ)$ entspricht. Insbesondere ist (2.13.1.1) wegen Satz 2.1.2 (unter Anwendung des Satzes von Weierstraß über stetige Funktionen auf kompakten Mengen) gleichbedeutend zu

\begin{array}{rcl} lim_{n \to \infty} sup_{x \in [a, b]} |P_{n} (x) - f (x)| & = & lim_{n \to \infty} max_{x \in [a, b]} |P_{n} (x) - f (x)| \\ = & lim_{n \to \infty} {∥P_{n} - f∥}_{C}, \end{array}

d.h. $P_{n}$ konvergiert im Raum $C ([a, b], ℂ)$ gegen $f$ .

Es sei $Ω \subset C ([a, b], ℂ)$ die Menge aller Polynome mit komplexen Koeffizienten auf dem Intervall $[a, b]$ . Dann ist Satz 2.13.1.1 gleichbedeutend damit, daß für jedes $f \in C ([a, b], ℂ)$ eine Folge von $P_{n} \in Ω$ existiert, welche gegen $f$ in der Metrik von $C ([a, b], ℂ)$ konvergiert. Damit gilt entweder $f \in Ω$ oder $f \in acc (Ω)$ , d.h.

\bar{Ω} = Ω \cup acc (Ω) = C ([a, b], ℂ) .

Mit anderen Worten (vergleiche Abschnitt 2.12.9 im Skript Analysis 1) ist Satz 2.13.1.1 äquivalent zu

SATZ 2.13.2. Die Menge der Polynome $Ω$ ist dicht in $C ([a, b], ℂ)$ .

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