Normierte Vektorraume.

3.1.1. Normierte Vektorräume.

Wir erinnern, daß $E$ ein linearer Vektorraum über $K \in {ℝ, ℂ}$ ist, wenn auf $E$ die Operation der Addition

+ : E \times E \to E, (x, y) \mapsto x + y,

sowie die Multiplikation eines Elementes von $E$ mit einem Element aus $K$

\cdot : K \times E \to E, (α, E) \mapsto α \cdot E,

definiert sind, welche die Axiome (2.6.1) aus Abschnitt 2.6.1 des Skriptes Analysis 1 erfüllen. Elemente aus $E$ nennt man auch Punkte oder Vektoren. Werte aus $K$ nennt man auch Skalare. Im weiteren vereinbaren wir auch die Schreibweise

x \cdot α : = α \cdot x, x \in E, α \in K .

Eine Abbildung

∥ \cdot ∥ : E \to ℝ

ist eine Norm auf $E$ , wenn folgende Axiome erfüllt sind

\begin{array}{rcl} ∥ x ∥ \geq 0, & x \in E, \\ ∥ x ∥ = 0 & \Leftrightarrow & x = 0 \in E, \\ ∥ α \cdot x ∥ = | α | ∥ x ∥, & α \in K, x \in E, \\ ∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥, & x, y \in E . \end{array}

Eine Norm induziert eine Metrik

d (x, y) = ∥ x - y ∥, x, y \in E .

Ist $E$ bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man $E$ einen Banachraum. Eine Folge $x_{n} \in E$ konvergiert gegen ein Element $y \in E$ genau dann, wenn $∥ y - x_{n} ∥ \to 0$ für $n \to \infty$ d.h. genau dann, wenn $y - x_{n} \to 0 \in E$ für $n \to \infty$ .

AUFGABE 3.1.1. Es sei $x_{n} \in E$ , $y_{n} \in E$ und $α_{n} \in K$ mit $x_{n} \overset{E}{\to} x$ , $y_{n} \overset{E}{\to} y$ sowie $α_{n} \overset{K}{\to} α$ . Zeigen sie, daß dann in $E$ die Grenzwerte

lim_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}) = x + y, lim_{n \to \infty} α_{n} x_{n} = α x,

existieren.

AUFGABE 3.1.2. Zeigen Sie, daß die Abbildung $∥ \cdot ∥_{E} : E \to ℝ$ stetig ist.

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