Zur Dimension normierter Vektorraume.

3.1.2. Zur Dimension normierter Vektorräume.

Eine endliche Familie von gegebenen Vektoren $x_{i} \in E$ , $i = 1, \dots, n$ heißt linear unabhängig wenn die Identität

α_{1} x_{1} + \dots + α_{n} x_{n} = 0, α_{k} \in K, k = 1, \dots, n

ausschließlich für die Skalare

α_{1} = \dots = α_{n} = 0

erfüllt ist. Gibt es eine endliche größte Anzahl von linear unabhängigen Vektoren, die sich in einem linearen Vektorraum $E$ finden lassen, so nennt man diese Anzahl $dim E$ die Dimension von $E$ . Beispiele für endlichdimensionale Banachräume sind z.B. $ℝ^{n}$ o $ℂ^{n}$ mit der Euklidschen Norm $∥ x ∥ = {(\sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |^{2})}^{1 ∕ 2}$ . Gibt es beliebig große Familien linear unabhängiger Vektoren aus $E$ , so nennt man $E$ unendlichdimensional und schreibt $dim E = \infty$ .

Wir erinnern daran, daß $C ([a, b], K)$ den Raum der stetigen $K$ -wertigen Funktionen auf dem Intervall $[a, b]$ bezeichnet. In Abschnitt 2.15 des Skriptes Analysis 1 haben wir gezeigt, daß $∥ f ∥_{C} = max_{x \in [a, b]} | f (x) |$ eine Norm auf $C ([a, b], ℝ)$ definiert und daß $C ([a, b], ℝ)$ bezüglich dieser Norm vollständig ist.

LEMMA 3.1.3. Es sei $a, b \in ℝ$ und $a < b$ . Dann gilt $dim C ([a, b], ℝ) = \infty$ .

$▸$ Wir betrachten das Intervall $[a, b] = [0, 1]$ , der allgemeine Fall folgt dann durch eine affine Koordinatentransformation. Wir setzen $x_{n} = n^{- 1} \in [0, 1]$ für $n \in ℕ$ . Wir betrachten folgende Funktionen

\begin{array}{rcl} u_{k} (x) = 0 & für & x \in [0, 1] \ [x_{k + 1}, x_{k}], & (3.1.2.1) \\ u_{k} (x) = sin (\frac{x_{k} - x}{x_{k} - x_{k + 1}} π) & für & x \in [x_{k + 1}, x_{k}], k \in ℕ . & (3.1.2.2) \end{array}

All diese Funktionen sind auf dem Intervall $[0, 1]$ stetig als auch paarweise disjunkt getragen, d.h. $u_{k} u_{l} = 0$ für $k \neq l$ . Desweiteren gilt

u_{k} (x_{k}^{*}) = 1 für x_{k}^{*} = \frac{x_{k} + x_{k + 1}}{2}, k \in ℕ .

Deshalb nimmt eine jede Linearkombination

u (x) = α_{k_{1}} u_{k_{1}} (x) + \dots + α_{k_{n}} u_{k_{n}} (x)

der Vektorenfamilie ${u_{k_{j}}}_{j = 1}^{n}$ in den Punkten $x_{k_{j}}^{*} = \frac{x_{k_{j}} + x_{k_{j} + 1}}{2}$ die Werte $u (x_{k_{j}}^{*}) = α_{k_{j}}$ an. Damit gilt $u (x) = 0$ für alle $x \in [0, 1]$ , d.h. $u$ ist das Nullelement in $C ([0, 1], ℝ)$ , genau dann wenn $α_{k_{j}} = 0$ für $j = 1, \dots n$ . Damit ist eine beliebige Vektorenfamilie ${u_{k_{j}}}_{j = 1}^{n}$ linear unabhängig; es gibt also beliebig viele linear unabhängige Vektoren in $C ([0, 1], ℝ)$ . $◂$

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