Zur Aquivalenz von Normen im Fall von endlichen und unendlich vielen Dimensionen.

3.1.3. Zur Äquivalenz von Normen im Fall von endlichen und unendlich vielen Dimensionen.

Es gibt signifikante Unterschiede zwischen endlich- und unendlichdimensionalen normierten Räumen, wie wir hier an zwei Beispielen illustrieren wollen. Diese dienen vor allem zur Warnung davor, “gewohnte” Eigenschaften der Räume $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ ohne weiteres auf den unedlichdimensionalen Fall zu verallgemeinern.

Auf den Räumen $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ kann man verschiedene Normen definieren. Für einen Vektor $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n}$ kann man neben der Euklidschen Norm $∥ x ∥ = {(\sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |^{2})}^{1 ∕ 2}$ z.B. die Normen

\begin{array}{rcl} ∥ x ∥_{1} & = & \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |, \\ ∥ x ∥_{\infty} & = & max_{k = 1, \dots, n} | x_{k} | \end{array}

definieren.

AUFGABE 3.1.4. Beweisen Sie, daß $∥ \cdot ∥_{1}$ und $∥ \cdot ∥_{\infty}$ Normen auf $K^{n}$ sind.

SATZ 3.1.5. Es seien $∥ \cdot ∥_{A}$ und $∥ \cdot ∥_{B}$ zwei Normen auf $K^{n}$ . Dann sind diese äquivalent, d.h. es existieren zwei positive, endliche Konstanten $c = c (n, ∥ \cdot ∥_{A}, ∥ \cdot ∥_{B})$ und $C = C (n, ∥ \cdot ∥_{A}, ∥ \cdot ∥_{B})$ , so daß

c ∥ x ∥_{A} \leq ∥ x ∥_{B} \leq C ∥ x ∥_{A}, x \in K^{n} .

$▸$ Zunächst stellen wir fest, daß

∥ x ∥_{\infty} = max_{k = 1, \dots, n} | x_{k} | \leq ∥ x ∥ = {(\sum_{k = 1}^{n} | x_{k} |^{2})}^{1 ∕ 2} .

Es sei1 $e_{k} = (δ_{1 k}, \dots, δ_{n k})$ , $k \in ℕ$ und damit gilt für $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ die Zerlegung $x = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} e_{k}$ . Dann folgt für die Norm $∥ \cdot ∥_{A}$ nach der Dreiecksungleichung und der Homogenität die Abschätzung

\begin{array}{rcl} ∥ x ∥_{A} & = & {∥\sum_{k = 1}^{n} x_{k} e_{k}∥}_{A} \leq \sum_{k = 1}^{n} ∥ x_{k} e_{k} ∥_{A} = \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} | ∥ e_{k} ∥_{A} \\ \leq & n (max_{k = 1, \dots, n} | x_{k} |) (max_{k = 1, \dots, n} ∥ e_{k} ∥_{A}) = n M ∥ x ∥_{\infty} \leq n M ∥ x ∥ \end{array}

mit $M = max_{k = 1, \dots, n} ∥ e_{k} ∥_{A} < \infty$ . Aus der Dreiecksungleichung für $∥ \cdot ∥_{A}$ folgt

|∥ x ∥_{A} - ∥ y ∥_{A}| \leq ∥ x - y ∥_{A}

und damit ist wegen

|∥ x ∥_{A} - ∥ y ∥_{A}| \leq ∥ x - y ∥_{A} \leq n M ∥ x - y ∥, x, y \in K^{n},

die Abbildung $∥ \cdot ∥_{A} : K^{n} \to ℝ$ stetig bezüglich der Euklidschen Norm $∥ \cdot ∥$ .

Wir betrachten nun die Restriktion dieser Funktion

∥ \cdot ∥_{A} : K \to ℝ auf x \in K = {x \in K^{n} | ∥ x ∥ = 1} \subset K^{n} .

Die Menge $K$ ist bezüglich $∥ \cdot ∥$ eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von $K^{n}$ ; nach dem Satz von Bolzano ist diese Menge kompakt.2 Die stetige Funktion $∥ x ∥_{A} : K \to ℝ$ nimmt nach dem Satz von Weierstrass damit ihr

\begin{array}{rcl} Minimum & m_{1} = min_{x \in K} ∥ x ∥_{A} = ∥ x^{*} ∥_{A} \\ und  Maximum & m_{2} = max_{x \in K} ∥ x ∥_{A} = ∥ x^{* *} ∥_{A} \end{array}

für geeignete $x^{*} \in K$ und $x^{* *} \in K$ an. Da $∥ x^{*} ∥ = 1$ und damit $x^{*} \neq 0$ , so folgt

m_{1} = ∥ x^{*} ∥_{A} > 0 .

Desweiteren ist offensichtlich

0 < m_{1} \leq m_{2} = ∥ x^{* *} ∥_{A} \leq n M < \infty .

Für allgemeines $x \in K^{n}$ , $x \neq 0$ sei $e_{x} = ∥ x ∥^{- 1} x$ . Damit gilt $e_{x} \in K$ und $x = ∥ x ∥ e_{x}$ . Aus

0 < m_{1} \leq ∥ e_{x} ∥_{A} \leq m_{2} < \infty

folgt nach Multiplikation mit $∥ x ∥$ schließlich

0 < m_{1} ∥ x ∥ \leq ∥ x ∥ ∥ e_{x} ∥_{A} = ∥ ∥ x ∥ \cdot e_{x} ∥_{A} = ∥ x ∥_{A} \leq m_{2} ∥ x ∥ < \infty .

Auf gleichem Wege folgt

0 < {\tilde{m}}_{1} ∥ x ∥ \leq ∥ x ∥ ∥ e_{x} ∥_{B} = ∥ ∥ x ∥ \cdot e_{x} ∥_{B} = ∥ x ∥_{B} \leq {\tilde{m}}_{2} ∥ x ∥ < \infty .

Die Kombination der letzten beiden Ungleichungen beweist den Satz. $◂$

Der eben bewiesene Satz läßt sich leicht auf beliebige endlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern. Er gilt aber nicht für unendlichdimensionale Räume, wie wir an folgendem Gegenbeispiel illustrieren.

Auf der Menge $C ([a, b], K)$ , $a < b$ , führen wir neben der kanonischen Norm

∥ f ∥_{C} = max_{x \in [a, b]} | f (x) |, f \in C ([a, b], K),

das Funktional

∥ f ∥_{1} = \int_{a}^{b} | f (x) | d x f \in C ([a, b], K),

ein. Da für stetige Funktionen $f$ auch $| f |$ stetig und damit integrierbar ist, so ist die Größe $∥ f ∥_{1}$ wohldefiniert.

LEMMA 3.1.6. Das Funktional $∥ \cdot ∥_{1}$ stellt eine Norm auf der Funktionenmenge $C ([a, b], K)$ dar.

$▸$ Tatsächlich, für beliebiges $α \in K$ und $f \in C ([a, b], K)$ folgt

\begin{array}{rcl} ∥ α f ∥_{1} & = & \int_{a}^{b} | (α \cdot f) (x) | d x = \int_{a}^{b} | α f (x) | d x \\ = & \int_{a}^{b} | α | | f (x) | d x = | α | \int_{a}^{b} | f (x) | d x = | α | ∥ f ∥_{1} . \end{array}

Desweiteren folgt aus der Dreiecksungleichung für den Absolutbetrag

\begin{array}{rcl} ∥ f + g ∥_{1} & = & \int_{a}^{b} | (f + g) (x) | d x = \int_{a}^{b} | f (x) + g (x) | d x \\ \leq & \int_{a}^{b} (| f (x) | + | g (x) |) d x = ∥ f ∥_{1} + ∥ g ∥_{1} \end{array}

für beliebige $f, g \in C ([a, b], K)$ . Wegen $| f (x) | \geq 0$ gilt offensichtlich

∥ f ∥_{1} = \int_{a}^{b} | f (x) | d x \geq 0 .

Ist $f \neq 0$ , d.h. gibt es ein $x_{0} \in [a, b]$ mit $f (x_{0}) \neq 0$ und folglich $| f (x_{0}) | = δ > 0$ , so existiert aufgrund der Stetigkeit von $| f |$ ein $ε > 0$ mit

| f (x) | \geq δ ∕ 2 > 0 für x \in] x_{0} - ε, x_{0} + ε [\cap [a, b]

und damit

∥ f ∥_{1} = \int_{a}^{b} | f (x) | d x \geq \int_{max {a, x_{0} - ε}}^{min {b, x_{0} + ε}} | f (x) | d x \geq min {b - a, ε} \cdot \frac{δ}{2} > 0 .

$◂$

Wir betrachten nun die in (3.1.2.1)-(3.1.2.2) definierten Funktionen $u_{k}$ auf dem Intervall $[a, b] = [0, 1]$ . Man sieht leicht, daß

∥ u_{k} ∥_{C} = max_{x \in [0, 1]} | u_{k} (x) | = 1, k \in ℕ,

während

∥ u_{k} ∥_{1} = \int_{0}^{1} | u_{k} (x) | d x = \int_{x_{k + 1}}^{x_{k}} sin \frac{x_{k} - x}{x_{k} - x_{k + 1}} π d x = \frac{2 (x_{k} - x_{k + 1})}{π}, k \in ℕ,

woraus bei $x_{k} = k^{- 1}$ die Konvergenz

∥ u_{k} ∥_{1} = \frac{2}{π k (k + 1)} \to 0 für k \to \infty

folgt. Damit können $∥ \cdot ∥_{C}$ und $∥ \cdot ∥_{1}$ nicht äquivalent sein.

Wir betonen, daß die Funktionenmenge $C ([a, b], K)$ bezüglich der Norm $∥ \cdot ∥_{1}$ nicht vollständig ist. Über die Struktur der “Vervollständigung” dieses Raumes bezüglich der Integralnorm sprechen wir im Rahmen der Lebesgue-Theorie.

1Hier bezeichnet $δ_{j k}$ das Kronecker-Symbol.

2Hier fließt ein, daß $K^{n}$ ein endlichdimensionaler Raum ist, siehe auch die weiteren Kommentare in diesem Abschnitt.

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