Kompaktheit in endlich- und unendlichdimensionalen Raumen.

3.1.4. Kompaktheit in endlich- und unendlichdimensionalen Räumen.

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen endlich- und unendlichdimensionalen Räumen besteht bei der Beschreibung kompakter Mengen. Nach dem Satz von Bolzano ist eine Teilmenge $X$ von $K^{n}$ , $n \in ℕ$ , genau dann kompakt, wenn $X$ beschränkt und abgeschlossen ist. Insbesondere ist damit die abgeschlossene Einheitskugel

B_{K^{n}} = {x \in K^{n} | ∥ x ∥_{K^{n}} \leq 1}

kompakt.

Das Kompaktheitskriterium von Bolzano gilt nicht im unendlichdimensionalen Fall, wie folgendes Beispiel illustriert: Wir betrachten die abgeschlossene Einheitskugel

B_{C ([0, 1], K)} = {f | ∥ f ∥_{C} \leq 1}

im Banachraum $C ([0, 1], K)$ . Es sei ${u_{k}}_{k \in ℕ}$ die in (3.1.2.1)-(3.1.2.2) definierte Folge von Funktionen $u_{k} \in C ([0, 1], K)$ . Wir betrachten eine beliebige Teilfolge ${u_{k_{j}}}_{j \in ℕ}$ dieser Folge. Dann gilt wegen $k_{j} \neq k_{l}$ für $j \neq l$ auch

∥ u_{k_{j}} - u_{k_{l}} ∥_{C} = max_{x \in [0, 1]} |u_{k_{j}} (x) - u_{k_{l}} (x)| = 1

für beliebige $j \neq l$ , d.h. ${u_{k_{j}}}_{j \in ℕ}$ ist keine Cauchy-Folge in $C ([0, 1], K)$ und besitzt damit keinen Grenzwert in $C ([0, 1], K)$ . Damit ist $B_{C ([0, 1], K)}$ nicht kompakt.

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