Der Satz von Taylor

Wiederum ist

X

eine offene Teilmenge von

K = {ℝ, ℂ}

. Wir betrachten eine Funktion

f : X \to K^{n}

h

nennt man die Taylorreihe (Taylorentwicklung) für die Funktion

f

im Punkt

x_{0}

bis zur Ordnung

O (h^{m})

Beweis. Es ist zu zeigen, dass

r_{m} (h) = f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - \sum_{k = 1}^{m} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x_{0}) h^{k} \overset{h \to 0}{=} o (h^{m}) .

(3.33)

Offensichtlich ist $r_{m} (0) = 0$ . Weiterhin wenden wir die vollständige Induktion in $m$ an. Für den Induktionsanfang $m = 1$ wurde mit (3.15) bewiesen, dass die Differenzierbarkeit von $f$ in $x_{0}$ zu

r_{1} (h) = f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - f^{'} (x_{0}) h = o (h), h \to 0,

äquivalent ist. Für den Induktionsschritt setzen wir 3.33 voraus und nehmen an, dass $f$ in $x_{0}$ $m + 1$ -fach differenzierbar ist. Wir schätzen $\begin{array}{rcl} r_{m + 1} (h) & = & f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - \sum_{k = 1}^{m + 1} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x_{0}) h^{k} \\ = & \underset{r_{m} (h)}{\underset{︸}{f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - \sum_{k = 1}^{m + 1} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x_{0}) h^{k}}} - \\ - \frac{1}{(m + 1)!} f^{(m + 1)} (x_{0}) h^{m + 1} \end{array}$

ab. Da $f$ durch die Existenz höherer Ableitungen im Punkt $x_{0}$ in einer Umgebung $U_{ε} (x_{0})$ differenzierbar ist, so gilt gleiches für $r_{m + 1} (h)$ bezüglich der Variablen $h \in U_{ε} (0) \subset K$ . Zudem ist $r_{m + 1}$ stetig auf $\bar{0 h} \subset U_{ε} (0)$ . Nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung ergibt sich damit

∥ r_{m + 1} (h) - \underset{= 0}{\underset{︸}{r_{m + 1} (0)}} ∥ \leq sup_{\tilde{h} \in \overset{\circ}{\bar{0 h}}} ∥ r_{m + 1}^{'} (\tilde{h}) ∥ | h |, h \in U_{ε} (0) .

(3.34)

Eine Differentiation des Ausdruckes für $r_{m} (h)$ in (3.33) führt zu $\begin{array}{rcl} r_{m + 1}^{'} (h) & = & f^{'} (x_{0} + h) - f^{'} (x_{0}) - \sum_{k = 2}^{m + 1} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x_{0}) k h^{k - 1} \\ = & f^{'} (x_{0} + h) - f^{'} (x_{0}) - \sum_{l = 1}^{m} \frac{1}{l!} f^{(l + 1)} (x_{0}) h^{l} \\ = & g (x_{0} + h) - g (x_{0}) - \sum_{l = 1}^{m} \frac{1}{l!} g^{(l)} (x_{0}) h^{l} . \end{array}$

Wendet man die Induktionsvoraussetzung (3.33) auf die $m$ -fach differenzierbare Funktion $g = f^{'}$ an, so ergibt sich $r_{m + 1}^{'} (\tilde{h}) = o ({\tilde{h}}^{m})$ und damit

∥ r_{m + 1}^{'} (\tilde{h}) ∥ \leq ϵ | \tilde{h} |^{m} \leq ϵ | h |^{m} für \tilde{h} \in \overset{\circ}{\bar{0 h}}, h \in U_{δ_{ϵ}} (0) .

Setzt man dies in (3.34) ein, so erhält man schliesslich

∥ r_{m + 1} (h) ∥ \leq ε | h |^{m} | h | = ε | h |^{m + 1} für | h | < δ_{ϵ} .

Dies ist gleichbedeutend mit $r_{m + 1} (h) = o (h^{m + 1})$ für $h \to 0$ . □

Example 3.8.3. Wir betrachten $f (x) = sin x$ , $x \in ℂ$ im Punkt $x_{0} = 0$ . Dann gilt alternierend

f^{'} (x) = cos x, f^{″} (x) = - sin x, f^{(3)} (x) = - cos x, f^{(4)} (x) = sin x,

usw., woraus $f^{'} (0) = 1$ , $f^{''} (0) = 0$ , $f^{(3)} (0) = - 1$ , $f^{(4)} (0) = 0$ , $\dots$ folgt. Dies ergibt die Taylorentwicklung

sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} \pm \dots + o (x^{m})

für die $sin$ -Funktion im Nullpunkt.

3.8 Der Satz von Taylor