Die Exponential- und die Winkelfunktionen.

e^{z + h} - e^{z} = e^{z} \cdot e^{h} - e^{z} = e^{z} (e^{h} - 1) \overset{h \to 0}{=} e^{z} (h + o (h)) \overset{h \to 0}{=} e^{z} h + o (h) .

Nach Satz 3.2.7 folgt daraus die Differenzierbarkeit von

e^{z}

sowie

{(e^{z})}^{'} = e^{z}

Wendet man auf letzteres Resultat die Kettenregel an, so folgt

{(e^{- z})}^{'} = - e^{- z}

{(e^{i z})}^{'} = i e^{i z}

sowie

{(e^{- i z})}^{'} = - i e^{- i z}

für alle

z \in ℂ

. Zusammen mit der Linearität der Ableitung ergibt sich

\begin{array}{rcl} {(\frac{e^{z} - e^{- z}}{2})}^{'} = (\frac{e^{z} + e^{- z}}{2}), & {(\frac{e^{z} + e^{- z}}{2})}^{'} = (\frac{e^{z} - e^{- z}}{2}), \\ {(\frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i})}^{'} = (\frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}), & {(\frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2})}^{'} = - (\frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i}), \end{array}

oder gleichbedeutend für beliebiges

z \in ℂ

\begin{array}{rcl} f (z) = sinh z & \Rightarrow & f^{'} (z) = cosh z, \\ f (z) = cosh z & \Rightarrow & f^{'} (z) = sinh z, \\ f (z) = sin z & \Rightarrow & f^{'} (z) = cos z, \\ f (z) = cos z & \Rightarrow & f^{'} (z) = - sin z . \end{array}

{(\frac{sin z}{cos z})}^{'} = \frac{sin z \cdot (- sin z) - cos z \cdot cos z}{{cos}^{2} z} = \frac{{sin}^{2} z + {cos}^{2} z}{{cos}^{2} z}

f (z) = tan z \Rightarrow f^{'} (z) = 1 + {tan}^{2} z = \frac{1}{{cos}^{2} z}, cos z \neq 0 .

{(\frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i})}^{2} + {(\frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2})}^{2} = \frac{e^{2 i z} + e^{- 2 i z} - 2}{(- 4)} + \frac{e^{2 i z} + e^{- 2 i z} + 2}{4} = 1 .

Die Ableitung des Kotanges ergibt entweder analog zur Herleitung der Ableitung der Tangensfunktion oder z.B. aus der Kettenregel

{(\frac{1}{tan z})}^{'} = {(\frac{1}{x} \circ tan z)}^{'} = (- \frac{1}{x^{2}} \circ tan z) \cdot {(tan z)}^{'} = - \frac{1}{{tan}^{2} z} \cdot \frac{1}{{cos}^{2} z},

f (z) = cot z \Rightarrow f^{'} (z) = - 1 - {cot}^{2} z = - \frac{1}{{sin}^{2} z}, sin z \neq 0,

Für die hyperbolischen Winkelfunktionen eines komplexen Argumentes wird (3.24) durch die Beziehung

\begin{array}{rcl} {cosh}^{2} z - {sinh}^{2} z & = & {(\frac{e^{z} + e^{- z}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{z} - e^{- z}}{2})}^{2} \\ = & \frac{e^{2 z} + e^{- 2 z} + 2}{4} - \frac{e^{2 z} + e^{- 2 z} - 2}{4} = 1, z \in ℂ, \end{array}

ersetzt. Diese liefert bei der Ableitung von

tanh z

und

coth z

dann

\begin{array}{rcl} {(\frac{sinh z}{cosh z})}^{'} & = & \frac{{cosh}^{2} z - {sinh}^{2} z}{{cosh}^{2} z} = \frac{1}{{cosh}^{2} z}, \\ {(\frac{cosh z}{sinh z})}^{'} & = & \frac{{sinh}^{2} z - {cosh}^{2} z}{{sinh}^{2} z} = - \frac{1}{{sinh}^{2} z} \end{array}

und zusammengefasst für

z \in ℂ

mit

cosh z \neq 0

respektive

sinh z \neq 0

\begin{array}{rcl} f (z) = tanh z & \Rightarrow & f^{'} (z) = 1 - {tanh}^{2} z = \frac{1}{{cosh}^{2} z}, \\ f (z) = coth z & \Rightarrow & f^{'} (z) = 1 - {coth}^{2} z = - \frac{1}{{sinh}^{2} z} . \end{array}

⁶Formal bedarf es bei diesem Weg eigentlich einer besonderen Diskussion der Punkte $z$ mit $cos z = 0$ , in denen die Tangensfunktion nicht, die Kotangensfunktion aber sehr wohl definiert ist.

3.4.2 Die Exponential- und die Winkelfunktionen.