Beweis. Verschwindet $g\left(x\right)$ in allen Punkten $x\in \left[a,b\right]$, so ist die Aussage als $0=0$ trivial. Wir nehmen deshalb an, dass $g\left(x_0\right)=\tilde{\epsilon }>0$ für ein gewisses $x_0\in \left[a,b\right]$. Dann existiert wegen der Stetigkeit von $g$ ein $\tilde{\delta }>0$, so dass $g\left(x\right)>\epsilon ∕2$ für alle $x\in U_{\tilde{\delta }}\left(x_0\right)$. Damit gilt $g\left(x\right)\ge \chi \left(x\right)$ mit $\chi \left(x\right)=\tilde{\epsilon }$ für $x\in U_{\tilde{\delta }}\left(x_0\right)$ sowie $\chi \left(x\right)=0$ für $\mathrm{\text{x}}\in \left[a,b\right]\backslash U_{\tilde{\delta }}\left(x_0\right)$ und folglich

$${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}g\left(x\right)dx\ge \frac{\tilde{\epsilon }\tilde{\delta }}{2}>0.$$

(4.32)

Die Funktion $f$ ist stetig auf $\left[a,b\right]$ und deshalb existieren nach dem Satz von Weierstrass Punkte $x_m\in \left[a,b\right]$ und $x_M\in \left[a,b\right]$, so dass

Daraus folgt wegen $g\left(x\right)\ge 0$ die Abschätzung

und nach (4.13) gilt damit auch

Wegen (4.32) kann man die Ungleichung mit ${\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}g\left(x\right)dx$ dividieren. Damit gilt

Als stetige Funktion nimmt $f$ alle Werte zwischen $m$ und $M$ an, d.h. es existiert ein Punkt $\xi \in \left[a,b\right]$, so dass $f\left(\xi \right)=y$. Damit ist (4.31) erfüllt. □