4.7.2  Modifikationen der Restgliedformel.

Wir betrachten nun den Spezialfall $f:X\to ℝ$, $X\subset ℝ$. Dann kann man unter den Voraussetzungen von Satz 4.7.1 den erster Mittelwertsatz der Integralrechnung auf die Darstellung des Restgliedes anwenden, wonach ein Punkt $\xi$ zwischen $x_0$ und $x_0+h$ existiert, so dass $$\begin{array}{rcll}{r}_m\left(x_0;h\right)& =& \frac{h^{m+1}}{m!}{\int \; <!--nolimits-->}_0^1{f}^{\left(m+1\right)}\left(x_0+th\right){\left(1-t\right)}^{m}dt& \\ & =& \frac{1}{m!}{\int \; <!--nolimits-->}_0^h{f}^{\left(m+1\right)}\left(x_0+s\right){\left(h-s\right)}^{m}ds& \\ & =& \frac{1}{m!}{f}^{\left(m+1\right)}\left(\xi \right){\int \; <!--nolimits-->}_0^h{\left(h-s\right)}^{m}ds& \\ & =& \frac{1}{\left(m+1\right)!}{f}^{\left(m+1\right)}\left(\xi \right)h^{m+1}.& \text{(4.44)}\end{array}$$