Beschrankte Mengen in ℝ.

Definition 2.1.5. Eine Menge $M \subset ℝ$ heisst beschränkt, genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

\exists_{c \in ℝ} \forall_{x \in M} | x | \leq c .

(2.1)

Ist eine Menge

M \subset ℝ

nicht beschränkt, so heisst diese Menge unbeschränkt.

Beweis. Nach der Negation von (2.1) ist eine Menge unbeschränkt genau dann wenn

\forall_{c \in ℝ} \exists_{x = x_{c} \in M} c < | x | .

(2.2)

Man wähle nun zu einem gegebenen $c_{1} > 0$ ein $x_{1} \in M$ mit $| x_{1} | > c_{1}$ und berechne $c_{2} = 2 | x_{1} |$ . Setzt man diesen Prozess iterativ fort, so findet man nach (2.2) immer wieder ein $x_{k} \in M$ mit $| x_{k} | > c_{k} = 2 | x_{k - 1} |$ . Damit ist klar $| x_{k} | > | x_{l} |$ also auch $x_{k} \neq x_{l}$ für $1 \leq l < k$ ; diese Elemente sind paarweise verschieden Damit ist eine Bijektion von $ℕ$ auf die Teilmenge $\cup_{k \in ℕ} {x_{k}} \subset M$ konstruiert, woraus $ℵ_{0} \leq card (M)$ folgt, also enthält $M$ unendlich viele Elemente (siehe Problem 1.10.15). □

Beweis. Es seien $M_{k} \subset ℝ$ endlich viele beschränkte Mengen und $c_{k}$ nach (2.1) geeignete Konstanten für diese Mengen, d.h.

\forall_{x \in M_{k}} | x | \leq c_{k}, k = 1, \dots, n .

Die Menge der Zahlen $| c_{k} |$ mit $k = 1, \dots, n$ ist endlich und damit beschränkt, d.h.

\exists_{c \in ℝ} \forall_{k = 1, \dots, n} | c_{k} | \leq c .

Aus letzterem folgt $| x | \leq c$ für $x \in M_{k}$ für beliebiges $k = 1, \dots, n$ und damit also für beliebiges $x \in \cup_{k = 1}^{n} M_{k}$ . □

Theorem 2.1.9. Es sei ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Folge reeller Zahlen, $a \in ℝ$ und $a = lim_{n \to \infty} x_{n}$ . Dann ist die Menge der Folgenglieder² $M = \cup_{n \in ℕ} {x_{n}}$ beschränkt. Ausserdem konvergiert jede Teilfolge³ ${x_{n}}_{n = n_{0}}^{\infty}$ ebenfalls gegen $a$ .

Beweis. Wähle ein $ε > 0$ und das entsprechende $N_{ε}$ nach Definition der Konvergenz. Damit gilt

x_{n} \in U_{ε} (a) und  damit \forall_{n \in ℕ, n \geq N_{ε}} (| x_{n} | \leq | a - ε | \lor | x_{n} | \leq | a + ε |) .

Damit ist die Menge $\cup_{k \geq N_{ε}} {x_{k}}$ beschränkt. Da weiterhin ${x_{1}, \dots, x_{N_{ε} - 1}}$ endlich und damit beschränkt ist, so ist $M$ als Vereinigung dieser beider Mengen ebenfalls beschränkt. Der Beweis der zweiten Aussage folgt direkt aus der Definition des reellen Grenzwertes. □

²Wir verwenden diese etwas umständliche Formulierung um nochmals zu unterstreichen, dass Folgen keine Mengen sind. Oft sagt man einfach kürzer, das die Folge ${x_{n}}$ beschränkt ist.

³Eine Teilfolge erhält man, indem man aus einer gegebenen Folge endlich oder unendlich viele Elemente herausstreicht, dabei die Reihenfolge der verbleibenden unendlich vielen Folgenglieder aber beibehält. In diesem Fall werden die ersten $n_{0} - 1$ Folgenglieder gestrichen.

2.1.3 Beschränkte Mengen in ℝ.

2.1.3 Beschränkte Mengen in $ℝ$ .