2.4. Zur Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionen zweier Variablen. Das Vertauschen von $\underset{x\to x^{\ast }}{lim}$ und $\underset{y\to y^{\ast }}{lim}.$

Es seien $\left(M_j,d_j\right)$ metrische Räume für $j=1,2,3$. Insbesondere sei $M_3$ vollständig.

$▸$ Angenommen, der Grenzwert (2.4.0.1) wird gleichmäßig erreicht. Wir betrachten eine beliebige Folge ${\left\{y_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ von Gliedern $y_k\in Y$, $y_k\ne y^{\ast }$, welche für $k\to \infty$ gegen $y^{\ast }$ konvergiert uns setzen $a_k\left(x\right)=f\left(x,y_k\right)$. Nach Aufgabe 2.1.4 konvergiert $a_k\left(x\right)$ dann für $k\to \infty$ gleichmäßig bezüglich $x\in X$ gegen $\phi \left(x\right)$. Aus Satz 2.3.1 folgt

Da $\underset{x\to x^{\ast }}{lim}\phi \left(x\right)$ nicht von der konkreten Wahl der Folge ${\left\{y_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ abhängt, so konvergiert $\underset{k\to \infty }{lim}\psi \left(y_k\right)$ immer gegen ein und denselben Wert, woraus nach der Folgendefiniton des Grenzwertes

folgt. $◂$

$▸$ Nach Satz 2.4.1 gilt

Aus der Stetigkeit von $f\left(\cdot ,y\right)$ für fixiertes $y\in Y$ im Punkt $x=x^{\ast }$ folgt

und damit

$◂$

Wir erinnern, daß es zur Überprüfung der Stetigkeit genügt, Punkte $\tilde{x}=x^{\ast }\in \text{acc}\left(X\right)\cap X$ zu betrachten. Ist deshalb unter den Vorassetzungen des obigen Satzes $f\left(\cdot ,y\right):X\to M_3$ in allen Punkten $x\in X$ stetig, so gilt dies offensichtlich auch für die Funktion $\phi \left(x\right)=\underset{y\to y^{\ast }}{lim}f\left(x,y\right)$.