Die schwache und die Frechet-Ableitung fur Funktionen zwischen endlichdimensionalen Raumen

3.6. Die schwache und die Frechet-Ableitung für Funktionen zwischen endlichdimensionalen Räumen

Wir wollen nun die zuvor eingeführten Begriffe in der konkreten Situation, dass eine Funktion zwischen endlichdimensionalen Räumen, also z.B. zwischen $ℝ^{n}$ und $ℝ^{m}$ , abbildet anschauen. Dazu sei $U \subset ℝ^{n}$ offen und $f : U \to ℝ^{m}$ . Eine solche Funktion besteht aus $m$ verschiedenen Komponenten

f (x) = (\begin{matrix} f_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ⋮ \\ f_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{matrix}),

mit Argumenten, welche $n$ verschiedene Komponenten haben:

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) \in ℝ .

Physikalische Anwendungen solcher Funktionen sind z.B. Kraftfelder im $ℝ^{3}$ , welche einem gegebenem Raumpunkt $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ eine Kraft mit den Komponenten $(f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x))$ zuordnen.

DEfiNITION 3.6.1. Die Funktion $f$ heißt im Punkt $x_{0} \in int (U)$ differenzierbar genau dann, wenn $f$ in $x_{0}$ Frechet-differenzierbar ist.

Unter der Differenzierbarkeit einer solchen Funtion verstehen wir also stets Frechet-Differenzierbarkeit. Ist $f$ also differenzierbar, so existiert $J (x_{0}) \in (ℝ^{n}, ℝ^{m})$ mit

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + J (x_{0}) h + o (∥ h ∥)

wobei $h \to 0$ . Bezeichnen wir mit

e_{j} = (0, \dots, 0, \underset{j -te Stelle}{\underset{︸}{1}}, 0, \dots, 0) \in ℝ^{n}

bzw.

e_{k}^{'} = (0, \dots, 0, \underset{k -te Stelle}{\underset{︸}{1}}, 0, \dots, 0) \in ℝ^{m}

die Vektoren der kanonischen Basen des $ℝ^{n}$ bzw. $ℝ^{m}$ , so lässt sich der stetige, lineare Operator $J (x_{0})$ als eine Matrix darstellen:

{[J (x_{0})]}_{j k} = {<J (x_{0}) e_{k}, e_{j}^{'}>}_{ℝ^{m}} .

DEfiNITION 3.6.2. Unter der partiellen Ableitung verstehen wir den Grenzwert

\frac{\partial f}{\partial x_{j}} = lim_{t \to 0} \frac{f (x + t e_{j}) - f (x)}{t} = D f (x) e_{j} .

D.h. wir differenzieren nur in der $j$ -ten Koordinate, alle übrigen Koordinten werden festgehalten. Bei der partiellen Ableitung handelt sich sich also nur um die Richtungsableitung entlang der $j$ -ten Koordinatenachse. Diese existieren alle wegen der Voraussetzung der Frechet-differenzierbarkeit. Nocheinmal ausgeschrieben lautet dieser Grenzwert wie folgt:

\frac{\partial f}{\partial x_{j}} = lim_{t \to 0} \frac{f (x_{1}, \dots, x_{j} + t, x_{j + 1}, \dots, x_{n}) - f (x_{1}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n})}{t}

Da $f$ selbst vektorwertig ist, werden auf der rechten Seite dabei die Differenzen zweier Vektoren gebildet und

\frac{\partial f}{\partial x_{j}} = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{j}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{j}} \end{matrix})

ist ebenfalls ein Vektor.
Beachte: Betrachten wir die Projektion von $f_{s}^{'} (x_{0}) e_{j}$ auf die $k$ -te Koordiantenachse, so erhalten wir

\begin{array}{rcl} <f_{s}^{'} (x_{0}) e_{j}, e_{k}^{'}> & = & π_{k} ({\frac{\partial f}{\partial x_{j}}|}_{x = x_{0}}) = π_{k} (D f (x_{0}) e_{j}) \\ = & D (π_{k} f (x_{0}) e_{j}) = D f_{k} (x_{0}) e_{j} = {\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}|}_{x = x_{0}} . \end{array}

Wobei $π_{k}$ mit dem Grenzwert im $ℝ^{m}$ vertauscht wurde.

SATZ 3.6.3. Ist $f : U \to ℝ^{m}$ im Punkt $x_{0} \in U$ Frechet-differenzierbar, so existieren alle partiellen Ableitungen ${\partial f_{k} ∕ \partial x_{j}|}_{x = x_{0}}$ , $j = 1, \dots, n$ , $k = 1, \dots, m$ und die Ableitung $f^{'} (x_{0})$ lässt sich in den gewählten Basen durch die Jakobi-Matrix

(\begin{matrix} {\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}|}_{x = x_{0}} & \dots & {\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}|}_{x = x_{0}} \\ ⋮ & ⋮ \\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}|}_{x = x_{0}} & \dots & {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}|}_{x = x_{0}} \end{matrix})

darstellen.

Beweis
$▸$ Es sei $f_{s}^{'} (x^{a s t}) \in (K^{n}, K^{m}) .$ Basen seien $\{e_{k}\}$ und $\{e_{j}^{'}\} .$ Dann ist

\begin{array}{rcl} {[f_{s}^{'} (x^{*})]}_{} j k & = & < f_{s}^{'} (x^{*}) e_{k}, e_{j}^{'} >_{K^{m}} = π_{j} (D f (x^{*}) e_{k}) \\ = & D f_{j} (x^{*}) e_{k} = \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{k}} |_{x = x^{*}} \end{array}

$◂$
Die partiellen Ableitungen lassen sich häufig einfach berechnen. Wir haben aber gesehen, dass aus der alleinigen Existenz der partiellen Ableitungen noch nicht folgt, dass die Funktion $f$ auch Frechet-differenzierbar ist. In diesem Fall lässt sich die Jakobi-Matrix zwar ausrechnen, sie spielt dann aber nicht die Rolle der Frechet-Ableitung.
Stellen wir uns den Graphen einer Funktion als eine gewölbte Oberfläche vor, so bedeutet Frechet-Differenzierbarkeit in einem Punkt $x_{0}$ , dass diese Oberfläche lokal in einer kleinen Umgebung von $x_{0}$ wie eine Ebene aussieht, bzw. sich durch eine Ebene (bis auf einen kontrollierbaren Fehler) approximieren lässt. Kennt man aber nur die partiellen Ableitungen in z.B. zwei Richtungen so lässt sich i.A. nicht auf das Verhalten von $f$ in eine dritte Richtung schließen. Solche Schlüsse erfordern weitere Regularitätsbedingungen an $f$ :

SATZ 3.6.4. Angenommen, alle partiellen Ableitungen $\partial f_{j} ∕ \partial x_{k}$ existieren in allen $x \in U$ und sind im Punkt $x_{0} \in U$ stetig. Dann ist $f$ in $x_{0}$ schwach differenzierbar und es ist $f_{s}^{'} (x_{0}) = J (x_{0})$ .

$▸$ Wir wissen, dass alle Richtungsableitungen entlang der Koordinatenachsen existieren und wir haben $D f_{k} (x) [e_{j}] = \partial f_{k} ∕ \partial x_{j}$ . Diese sind aber nur die Richtungsableitungen in spezielle vorgegebene Richtungen. Aus diesen Vorausetzungen zeigen wir, dass auch $D f_{k} (x) [h]$ für beliebige Richtungen $h \in E$ existiert und gleichzeitig Linearität in $h$ gilt, d.h.

\begin{array}{rcl} D f (x_{0}) [α^{'} h^{'} + α^{″} h^{″}] = α^{'} D f (x_{0}) [h^{'}] + α^{″} D f (x_{0}) [h^{″}] \end{array}

für alle $h^{'}, h^{″} \in E$ und $α^{'}, α^{″} \in ℝ$ erfüllt ist. Es genügt dabei nur skalarwertige Funktionen $f : U \in ℝ^{n} \to ℝ$ (d.h. $m = 1$ ) zu betrachten, da wir den Beweis für höhere $m$ dann komponentenweise führen können.

Schritt 1: Angenommen es existieren $D f (x) [h]$ für gewisse Richtungen $h \in ℝ^{n}$ , $x \in U$ . Dann haben wir Homogenität bzgl. der Richtung, d.h. es gilt $D f (x) [α h] = α D f (x) [h]$ für alle $α \in ℝ$ . Für die Linearität der Richtungsableitung bzgl. $h$ bleibt also nur die Additivität zu zeigen.

Schritt 2: Angenommen es existieren $D f (x) [h^{'}]$ und $D f (x) [h^{″}]$ für alle $x \in U$ , dann zeigen wir im Folgenden, dass

\begin{array}{rcl} D f (x_{0}) [h^{'} + h^{″}] = D f (x_{0}) [h^{'}] + D f (x_{0}) [h^{″}], \end{array}

für alle $x_{0} \in U$ in denen $D f (x) [h^{'}]$ und $D f (x) [h^{″}]$ stetig sind, erfüllt ist.
Dazu setzen wir $g (t) = f (x + t \cdot h)$ , $t \in [0, 1]$ , falls $D f (x) [h]$ existiert. Dann ist

\begin{array}{rcl} f (x + h) - f (x) & = & g (1) - g (0) = {\frac{d g}{d t}|}_{t = t_{0} \in [0, 1]} \cdot 1 \\ = & {\frac{d}{d t} f (x_{0} + t \cdot h)|}_{t = t_{0}} = {\frac{d}{d τ} f (x_{0} + t_{0} \cdot h + τ \cdot h)|}_{τ = 0} \end{array}

wobei wir im 2. Schritt den Mittelwertsatz der Differentialrechnung verwendet haben. Hierfür ist es wiederum wichtg, dass $f$ (und damit $g$ ) eine skalarwertige Funktion ist. Damit ist

\begin{array}{rcl} f (x + h) - f (x) = D f (x + t_{0} \cdot h) [h] . \end{array}

Dies ist der Mittelwertsatz für eine skalarwertige Funktion mehrerer Variablen in eine vorgegebene Richtung. $t_{0}$ ist dabei eine Funktion von $x_{0}$ und $h$ .
Angenommen es existieren $D f (x) [h^{'}]$ und $D f (x) [h^{″}]$ für alle $x \in U$ in zwei gegebene Richtungen $h^{'}$ und $h^{″}$ . Desweiteren seien $D f (x) h^{'}$ und $D f (x) h^{″}$ stetig in $x_{0} \in U$ . Um nun die Additivität zu zeigen setzen wir $h^{'} + h^{″} = h$ für gewisse $h^{'}, h^{″} \in ℝ^{n}$ und schreiben

\begin{array}{l} f (x_{0} + h) - f (x_{0}) & = f (x_{0} + h^{'} + h^{″}) - f (x_{0}) \\ = f (x_{0} + h^{'} + h^{″}) - f (x_{0} + h^{'}) + f (x_{0} + h^{'}) - f (x_{0}) . \end{array}

Nun wenden wir den Mittelwertsatz aus Schritt 2 jeweils auf die beiden vorderen Summanden für $x = x_{0} + h^{'}$ und auf die beiden hinteren Summanden für $x = x_{0}$ an. Dies dürfen wir, da wir vorausgesetzt haben, dass die beiden Ableitungen für alle $x \in U$ in die Richtungen $h^{'}$ und $h^{″}$ existieren. Damit erhalten wir

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \\ = & D f (x_{0} + h^{'} + t_{0}^{″} h^{″}) [h^{″}] + D f (x_{0} + t_{0}^{'} h^{'}) [h^{'}] . \end{array}

Nun ersetzen wir $h^{'}$ durch $s \cdot h^{'}$ und $h^{″}$ durch $s \cdot h^{″}$ mit einem $s \in ℝ$ und erhalten

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + s \cdot h) - f (x_{0}) \\ = & s \cdot D f (x_{0} + s (h^{'} + t_{0}^{″} h^{″})) [h^{″}] + s \cdot D f (x_{0} + s t_{0}^{'} h^{'}) [h^{'}] \end{array}

mit $t_{0}^{'} = t_{0}^{'} (x_{0}, h^{'}, h^{″}, s) \in [0, 1]$ und $t_{0}^{″} = t_{0}^{″} (x_{0}, h^{'}, h^{″}, s) \in [0, 1]$ . Betrachten wir nun den Differenzenquotienten

\begin{array}{rcl} \frac{1}{s} (f (x_{0} + s h) - f (x_{0})) \\ = & D f (x_{0} + s (h^{″} + t_{0}^{″} h^{″})) [h^{″}] + D f (x_{0} + s t_{0}^{'} h^{'}) [h^{'}], \end{array}

so konvergieren für $s \to 0$ auch $x_{0} + s (h^{'} + t_{0}^{″} h^{″}) \to x_{0}$ und $x_{0} + s t_{0}^{'} h^{'} \to x_{0}$ und es folgt

\begin{array}{rcl} D f (x_{0}) [h^{'} + h^{″}] = D f (x_{0}) [h^{'}] + D f (x_{0}) [h^{″}] . \end{array}

Schritt 3: Sei $h = h_{1} e_{1} + \dots + h_{n} e_{n}$ eine beliebige Richtung. Dann nutzen wir die eben bewiesene Linearität und es folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen $D f (x) [e_{j}]$ und deren Stetigkeit in $x_{0}$ , dass

\begin{array}{rcl} D f (x_{0}) [h] = \sum_{j = 1}^{n} h_{j} D f (x) [e_{j}] = h_{1} {\frac{\partial f}{\partial x_{1}}|}_{x = x_{0}} + \dots + h_{n} {\frac{\partial f}{\partial x_{n}}|}_{x = x_{0}} . \end{array}

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist wieder linear in $h$ und ist daher, als lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen, stetig.
$◂$

Aus der schachen Ableitung alleine können wir im Allgemeinen noch nichts über die Frechet-Ableitung aussagen. Man kann jedoch die im letzten Satz formulierten Voraussetzungen noch etwas verschärfen, sodass eine Aussage über die Frechet-Differenzierbarkeit möglich ist:

SATZ 3.6.5. Angenommen, alle partiellen Ableitungen $\partial f_{j} ∕ \partial x_{k}$ existieren in allen $x \in U$ und sind in einer $ε$ -Umgebung von $x_{0} \in U$ stetig. Dann ist $f$ in $x_{0}$ differenzierbar.

$▸$
Da alle partiellen Ableitungen existieren und in einer Umgebung $U_{ε} (x_{0})$ von $x_{0} \in U$ stetig sind, folgt nach Satz 3.6.4, dass die schwache Ableitung $f_{s}^{'} (x)$ für alle $x \in U_{ε} (x)$ existiert und

\begin{array}{rcl} f_{s}^{'} (x) = J (x) = (\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{k}}) . \end{array}

gilt. Alle Einträge in $J (x)$ sind in $U_{ε} (x)$ stetig und es folgt, dass die Abbildung

\begin{array}{rcl} J (\cdot) = f_{s}^{'} (\cdot) : U_{ε} (x_{0}) \to (ℝ^{n}, ℝ^{m}) \end{array}

ebenfalls stetig ist (Übung!). Also ist $f$ nach Satz 3.4.6 Frechet-differenzierbar.
$◂$

Zusammenfassung:
Sei eine Abbildung $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ gegeben.

Ist $f$ in einem Punkt $x_{0} \in U$ differenziebar, d.h. es existiert die Frechet-Ableitung $f^{'} (x_{0})$ , dann existiert auch die schwache Ableitung $f_{s}^{'} (x_{0})$ ,diese ist gleich der Jacobi-Matrix $J (x_{0})$ .
Existieren alle partiellen Ableitungen $\partial f_{j} ∕ \partial x_{k}$ und sind in $x_{0}$ stetig, dann existiert auch $f_{s}^{'} (x_{0})$ .
Existieren alle partiellen Ableitungen $\partial f_{j} ∕ \partial x_{k}$ und sind in einer Umgebung von $x_{0}$ stetig, dann existiert auch $f^{'} (x_{0})$ .

Spezialfall:
Sei $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ$ . Dann besteht die Jacobi-Matrix nur aus einer Zeile

\begin{array}{rcl} f^{'} (x_{0}) = J (x_{0}) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}) = {(\nabla f)}^{t} . \end{array}

Hierbei bezeichnet

\begin{array}{rcl} \nabla f = grad f = {(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}})}^{t} \end{array}

den Gradienten von $f$ . Ist $h = {(h_{1}, \dots, h_{n})}^{t} \in ℝ^{n}$ , so ist

\begin{array}{rcl} f^{'} (x_{0}) h & = & f_{s}^{'} (x_{0}) h = D f (x_{0}) [h] = {(\nabla f)}^{t} {(h_{1}, \dots, h_{n})}^{t} \\ = & {<\nabla f, h>}_{ℝ^{n}} = <h, \nabla> f \\ = & h_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} + \dots + h_{n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}} = (h_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \dots + h_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}) f \end{array}

(hier wurden nur die verschiedenen üblichen Schreibweisen aufgeführt). Mit Hilfe dieser neu eigeführten Symbole lässt sich die Definition der Frechet-Ableitung wie folgt ausdrücken:

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = <\nabla f, h> + o (∥ h ∥)), h \to 0 . \end{array}

Der Summand $<\nabla f, h>$ beschreibt dabei den linearen Anteil des Anstiegs von $f$ . Wann ist dieser Anstieg jedoch am größten? Im $ℝ^{3}$ lässt sich das Skalarprodukt durch

\begin{array}{rcl} <\nabla f, h> = ∥ \nabla f ∥ \cdot ∥ h ∥ \cdot cos ∡ (\nabla f, h) \end{array}

ausdrücken. Offensichtlich wird dies maximal, falls $h$ parallel zu $\nabla f$ ist, d.h. der größte lineare Anstieg verläuft in Richtung des Gradienten von $f$ . Mit anderen Worten zeigt also der Gradient von $f$ in diejenige Richtung mit größter Steigung nach oben.

Gleichung für die Tangentialebene
Anschaulich beschreibt die Frechet-Ableitung die Aproximation einer Funktion durch eine affine Abbildung, entsprechend approximiert man eine Funktion durch eine Ebene, wenn man in der Definition der Frechet-Ableitung den Fehlerterm weglässt. Bezeichnet $\tilde{f}$ also die Funktion für die Tangentialebene, so erfüllt diese die Bedingung

\begin{array}{rcl} \tilde{f} (x_{0} + h) - \tilde{f} (x_{0}) = <\nabla f (x_{0}), h> \end{array}

mit $h = x - x_{0}$ .

BEISPIEL 3.6.6. Gegeben ist $f : ℝ^{2} \to ℝ$ mit $f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{4}$ . Gesucht sind

Die Tangentialebenen zugehörig zu $x_{1}^{(1)} = x_{2}^{(1)} = 1$ , $x_{1}^{(2)} = 0$ , $x_{2}^{(2)} = 1$ .
Die Schnittmenge der Tangentialebenen.
Der Winkel zwischen den Tangentialebenen.

Lösung

$\frac{\partial f (x)}{\partial x_{1}} = 2 x_{1}$ , $\frac{\partial f (x)}{\partial x_{2}} = 4 x_{2}^{3}$ . Es existiert die Frechet-Ableitung. $f (x^{*} + h) = f (x^{*}) + f^{'} (x^{*}) h + o (∥ h ∥)$

$\nabla f = (\begin{matrix} \frac{\partial f (x)}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial f (x)}{\partial x_{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 x_{1} \\ 4 x_{2}^{3} \end{matrix})$
$\nabla f |_{(1, 1)} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ $\nabla f |_{(0, 1)} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix})$
Somit sind $T_{(1, 1)}$ :
$\begin{array}{rcl} y - f (x^{(1)}) & = & < \nabla f, x - x^{(1)} > \\ y - 2 & = & 2 (x_{1} - 1) + 4 (x_{2} - 1) \end{array}$

und $T_{(0, 1)}$ :
$y - 1 = 0 (x_{1} - 0) + 4 (x_{2} - 1) .$
Durch von $T_{(1, 1)}$ und $T_{(0, 1)}$ erhält man folgendes LGS $\begin{array}{rcl} 2 x_{1} + 4 x_{2} - y & = & 4 \\ 4 x_{2} - y & = & 3 \end{array}$

dessen Lösung
$T_{(0, 1)} \cap T_{(1, 1)} = \{x_{1} = \frac{1}{2}, y = 4 x_{2} - 3\}$
ergibt.
Bei $y - y_{0} = < A, x - x_{0} >$ mit $A \in ℝ^{n}$ handelt es sich um eine n-dimensionale Ebene im $ℝ^{n + 1}$ . Bestimme den Normalenvektor im $ℝ^{n + 1}$ .
$\{y, x\} \in ℝ^{n + 1}$ wobei $y \in ℝ$ und $x \in ℝ^{n}$ . $< \{- 1, A\}, \{y - y_{0}, x - x_{0}\} > = 0$

$n = \frac{\{- 1, A\}}{\sqrt{1 + ∥ A ∥^{2}}} = \frac{\{- 1, \nabla f\}}{\sqrt{1 + ∥ \nabla f ∥^{2}}}$
In unserem Fall ergibt sich $n_{(1, 1)} = \frac{(- 1, 2, 4)}{\sqrt{21}}$ , $n_{(0, 1)} = \frac{(- 1, 0, 4)}{17}$ .
$\begin{array}{rcl} cos ∠ (n_{(1, 1)}, n_{(0, 1)}) & = & \frac{< n_{(0, 1)}, n_{(1, 1)} >}{∥ n_{(0, 1)} ∥ ∥ n_{(1, 1)} ∥} \\ = & \frac{(- 1) (- 1) + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 4}{\sqrt{21} \sqrt{17}} = \sqrt{\frac{17}{21}} \end{array}$

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