Methode der Lagrange-Faktoren fur Extrema unter Nebenbedingungen

3.15. Methode der Lagrange-Faktoren für Extrema unter Nebenbedingungen

Die obige Bedingung ist für den konkreten Anwendungsfall nur schwer nachzuprüfen. Deshalb wollen wir nun eine einfacherer Methode vorstellen. Gegeben seien wie oben also eine Zielfunktion $f : O \subset ℝ^{n} \to ℝ$ und Nebenbedingungen

F_{1} (x) = \dots = F_{k} (x) = 0,

wobei $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}$ . Wir führen nun zusätzliche Koordinaten $λ = (λ_{1}, \dots, λ_{k})$ ein und betrachten den Vektor $(x, λ) \in ℝ^{n} \times ℝ^{k}$ . Dann ist die Lagrange-Funktion durch den Ausdruck

L (x, λ) = f (x) - \sum_{j = 1}^{k} λ_{j} F_{j} (x) .

definiert. Ziel ist es nun, die kritischen Punkten der Lagrange-Funktion $L (x, λ)$ zu finden, d.h. Punkte $(x^{*}, λ^{*})$ mit

\nabla_{(x, λ)} L (x, λ) |_{(x^{*}, λ^{*})} = 0 = (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) .

Differenziert man nach den $x$ -Variablen, so ergibt sich

\frac{\partial L (x, λ)}{\partial x_{r}} = \frac{\partial f}{x_{r}} - \sum_{j = 1}^{k} λ_{j} \frac{\partial F}{\partial x_{r}} \overset{!}{=} 0,

wobei $r = 1, \dots n$ . Damit ergeben sich $n$ Gleichungen

\nabla_{x} f - \sum_{j = 1}^{k} λ_{j} \nabla_{x} F \overset{!}{=} 0 .

Leiten wir nun nach den $λ$ -Variablen ab, so folgt

\frac{\partial L (x, λ_{j})}{\partial λ_{j}} = F_{j} (x_{1}, \dots x_{n}) \overset{!}{=} 0 .

Hier finden wir also unsere Nebenbedingungen wieder. Damit ergibt sich dann die Methode der Lagrange-Faktoren auf folgende Weise:

Man löse für beliebige $λ = (λ_{1}, \dots, λ_{k})$ die Gleichung $\nabla_{x} L (x, λ) = \nabla f (x) - \sum_{j = 1}^{k} λ_{j} \nabla F (x) = 0$
nach $x^{*} = x^{*} (λ)$ auf .
Man setze $x = x^{*} (λ)$ in die Nebenbedingungen $F_{1} (x^{*} (λ)) = \dots = F_{k} (x^{*} (λ)) = 0$
ein. Man berechnet nun die zugehörigen Lösungen $λ^{*} = (λ_{1}^{*}, \dots, λ_{k}^{*})$ . Damit ergeben sich die kritischen Punkte
$x^{*} = x^{*} (λ^{*}) .$

BEISPIEL 3.15.1. Man berechne die kritischen Punkte von $f (x) = x_{1} x_{2}$ unter der Nebenbedingung $F (x) = 2 (x_{1} + x_{2}) - U = 0$ . Dabei sei $U \in ℝ$ beliebig. Es ergibt sich nun die folgende Lagrange-Funktion

L (x, λ) = x_{1} x_{2} - λ (2 (x_{1} + x_{2}) - U) .

Es gilt

\{\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial x_{1}} & = x_{2} - 2 λ \overset{!}{=} 0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_{1}} & = x_{1} - 2 λ \overset{!}{=} 0 \end{matrix}

Damit folgt $x_{1} (λ) = 2 λ$ und $x_{2} (λ) = 2 λ$ . Jetzt schauen wir uns die Nebenbedingungen

F (x_{1} (λ), x_{2} (λ)) = 2 (2 λ + 2 λ) - U = 0

an. Damit folgt $λ^{*} = \frac{U}{8}$ und der einzige kritische Punkt ist dann durch

x^{*} = (x_{1}^{*}, x_{2}^{*}) = (\frac{U}{4}, \frac{U}{4})

gegeben.

Wir müssen nun noch zeigen, inwiefern wir aus der obigen Inklusion auf die Methode der Lagrange-Multiplikatoren gelangen. Sei dazu

ξ \in B i l d (\nabla f (x^{*})) = B i l d ({(f^{'} (x^{*}))}^{T}) .

Wir nutzen nun die Identität

ker (A) \oplus B i l d (A^{T}) = ℝ^{n}

welche für eine beliebige $ñ \times n$ Matrix gilt. Damit folgt

ξ ⊥ ker (f^{'} (x^{*})) = T_{x^{*}} N_{f} (c) .

und damit auch $ξ ⊥ ker (F^{'} (x^{*})) = T_{x^{*}} (S) \subseteq T_{x^{*}} N_{f} (c)$ . Also gilt $ξ \in B i l d (F^{'} {(x^{*})}^{T})$ . Also folgt

ξ = \underset{B i l d (\nabla f (x^{*}))}{\underset{︸}{c \cdot \nabla f (x^{*})}} = \underset{\in B i l d (F^{'} {(x^{*})}^{T})}{\underset{︸}{λ_{1} \nabla F_{1} (x^{*}) + \dots + λ_{k} \nabla F_{k} (x^{*})}} .

AUFGABE 3.15.2. Begründen Sie nun die Methode der Lagrange-Multiplakatoren.

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