Extremwerte unter Nebenbedingungen

3.14. Extremwerte unter Nebenbedingungen

BEISPIEL 3.14.1. Gegeben sei ein Rechteck mit Umfang $U = 2 (a + b)$ . Wann ist der Flächeninhalt des Rechtecks bei gegebenem Umfang $U$ maximal?

Dies führt auf ein Maximierungsproblem unter gegebenen Nebenfunktionen. Für den allgemeinen Fall sei $f : O \subset ℝ^{n} \to ℝ$ die Zielfunktion bezeichnet. Wir wollen nun $f$ unter den Nebenbedingungen

\{\begin{matrix} F_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 \\ ⋮ \\ F_{k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 \end{matrix}

minimieren. Falls der der Rang von $F = (F_{1}, \dots, F_{k})$ gleich $k$ ist, dann definieren die Nebenbedingung eine $n - k$ -dimensionale Mannigfaligkeit $S \subseteq ℝ^{n}$ .

Wir definieren nun die Niveaumenge von $f$ zum Wert $c \in ℝ$ , das heißt

N_{f} (c) = {x \in O : f (x) = c} .

Gilt nun $\nabla f (x) \neq 0$ für alle $x \in N_{f} (x)$ , so ist $N_{f} (c)$ eine $n - 1$ -dimensionale Mannigfaltigkeit.

SATZ 3.14.2 (Notwendinge Bedingung für Extremwerte unter Nebenbedingungen). Es seien $f$ und $F$ wie oben und. Nimmt $f$ in $x^{*}$ einen lokalen Extremwert unter der Nebenbedingung $F (x) = 0$ an, so gilt

T_{x^{*}} S \subseteq T_{x^{*}} N_{f} (c),

mit $c = f (x^{*})$ .

Wir wollen den Beweis skizzieren und vor allem eine konkrete Darstellung des Tangentialraums

T_{x^{*}} S = {ξ \in ℝ^{n} : ξ = \frac{D x}{D (t_{1}, \dots t_{n - k})} |_{x^{*}} η, η \in ℝ^{k}}

durch die Funktion $F$ angeben. Wir zeigen

T_{x^{*}} S = k e r F^{'} (x^{*}) .

Sei also wie oben $x = (\tilde{x}, t)$ und $F^{'} = (F_{\tilde{x}}^{'}, F_{t}^{'})$ . Dann gilt

\frac{D x}{D (t_{1}, \dots, t_{n - k})} = (\begin{matrix} - {(F_{\tilde{x}}^{'})}^{- 1} F_{t}^{'} \\ 1_{n - k} \end{matrix})

und damit für alle $ξ \in T_{x^{*}} S$

\begin{array}{l} F^{'} ξ & = (F_{\tilde{x}}^{'}, F_{t}^{'}) (\begin{matrix} - {(F_{\tilde{x}}^{'})}^{- 1} F_{t}^{'} \\ 1_{n - k} \end{matrix}) η = F_{\tilde{x}}^{'} (- {(F_{\tilde{x}}^{'})}^{- 1} F_{t}^{'}) η + F_{t}^{'} η \\ = (- F_{t}^{'} + F_{t}^{'}) η = 0 \end{array}

Damit folgt $T_{x^{*}} S \subseteq k e r F^{'} (x^{*})$ . Da beide Räume die gleiche Dimension haben (und der eine in dem anderen enthalten ist), müssen beide schon übereinstimmen. Also gilt

\begin{array}{l} T_{x^{*}} S = ker F^{'} (x^{*}), \\ T_{x^{*}} N_{f} (c) = ker \nabla f (x^{*}) . \end{array}

Sei nun $ξ \in T_{x^{*}} S$ . Dann existiert eine Kurve $γ : [- 1, 1] \to S$ mit $γ (0) = x^{*}$ und $γ^{'} (0) = ξ$ . Definiere $\tilde{f} : [- 1, 1] \to ℝ$ ,

\tilde{f} (τ) : = (f \circ γ) (τ) .

Diese Funktion hängt nur noch von der reellen Variablen $τ$ ab und hat in $τ = 0$ ein lokales Extremum. Also muss die 1. Ableitung verschwinden und damit folgt

0 = \frac{d}{d t} (f \circ γ) |_{τ = 0} = f^{'} (x^{*}) \frac{d}{d t} γ (0) = f^{'} (x^{*}) ξ .

Also gilt $ξ \in T_{x^{*}} N_{f} (c)$ .

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