Funktionen von konstantem Rang, Mannigfaltigkeiten

3.13. Funktionen von konstantem Rang, Mannigfaltigkeiten

Wir wollen im weiteren Verlauf immer $p \in N$ voraussetzen. Wir beginnen nun mit einer einfachen Vorüberlgung. Es seien $m, n \in ℕ$ und $U \subseteq ℝ^{n}$ , $V \subseteq ℝ^{m}$ zwei offene Mengen. Weiterhin nehmen wir an, dass es einen $^{p}$ -Diffeomorphismus $ϕ : U \to V$ gibt, d.h. es gilt

$ϕ : U \to V$ bijektiv;
$ϕ, ϕ^{- 1} \in^{p}$ .

Dann gilt für alle $y \in V$

y = ϕ \circ ϕ^{- 1} (y)

Differenzieren wir dies auf beiden Seiten nach $y$ , so ergibt sich

1_{m} = \frac{D ϕ}{D x} \cdot \frac{D ϕ^{- 1}}{D y} .

Wir wollen nun den Rang der beiden Matrizen links und rechts des Gleichheitszeichen miteinander vergleichen. Dieser entspricht genau der Dimension des jeweiligen Bildes. Also ergibt sich zum einen $r a n g (1_{M}) = m$ . Weiterhin gilt

\begin{array}{l} r a n g (\frac{D ϕ}{D x} \cdot \frac{D ϕ^{- 1}}{D y}) & \leq min \{r a n g (\frac{D ϕ}{D x}), r a n g (\frac{D ϕ^{- 1}}{D y})\} \\ \leq min {m, n} . \end{array}

Also folgt

m = r a n g (1_{m}) = r a n g (\frac{D ϕ}{D x} \cdot \frac{D ϕ^{- 1}}{D y}) \leq min {m, n} .

Vertauschen wir nun die Rollen von $ϕ$ und $ϕ^{- 1}$ , so folgt $n \geq min {m, n}$ . Also muss $m = n$ ergeben muss. Damit haben wir gezeigt, dass zwei offene Mengen des $ℝ^{n}$ bzw. des $ℝ^{m}$ nur dann diffeomorph sein können, falls $m = n$ gilt.

Wir wollen nun einen weiteren Struktursatz beweisen. Für $f : U \subseteq ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ und $x_{0} \in U$ definieren wir den Rang von $f$ in $x_{0}$ durch

r a n g (f (x_{0})) \overset{def}{=} r a n g (f^{'} (x_{0})) (\leq min {m, n}),

wobei $f^{'} (x_{0})$ die Jacobi-Matrix ist.

SATZ 3.13.1. Es sei $f \in^{p} (U, ℝ^{m})$ eine Abbildung von konstantem Rang $k \leq min {m, n}$ , d.h. es gilt

r a n g (f (x)) = k

für alle $x \in U$ . Sei weiterhin $x_{0} \in U$ und $y_{0} = f (x_{0})$ . Dann existieren offene Mengen $O_{x_{0}} \subseteq ℝ^{n}$ und $O_{y_{0}} \subseteq ℝ^{m}$ mit $x_{0} \in O_{x_{0}}$ , $y_{0} \in O_{y_{0}}$ sowie $^{p}$ -Diffeomorphismen

\begin{array}{l} ϕ : O_{x_{0}} \to U \subseteq ℝ^{n}, U offen, \\ ψ : O_{y_{0}} \to V \subseteq ℝ^{n}, V offen, \end{array}

so dass sich die Funktion $v = (ψ \circ f \circ ϕ^{- 1})$ folgendermaßen darstellen lässt:

v (u) = (ψ \circ f \circ ϕ^{- 1}) (u) = (u_{1}, \dots, u_{k}, 0, \dots, 0) .

Der Satz sagt also aus, dass sich die Funktion $f$ bis auf Komposition mit Diffeomorphismen wie eine Projektion auf eine $k$ -dimensionale Hyperebene des $ℝ^{m}$ verhält.

Damit eng verbunden ist der Begriff der $k$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit.

DEfiNITION 3.13.2. Eine Menge $S \subseteq ℝ^{n}$ heißt genau dann $k$ -dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse $^{p}$ , falls für alle $x^{'} \in S$ eine Umgebung $V_{x^{'}}$ mit $x^{'} \in V_{x^{'}}$ existiert sowie ein $^{p}$ -Diffeomorphismus

ψ_{x^{'}} : V_{x^{'}} \to U \subseteq ℝ^{n}, U offen,

so dass die Identität

ψ_{x^{'}} (S \cap V_{x^{'}}) = {t \in U : t_{k + 1} = \dots t_{n} = 0}

gilt.

Die Definition muss folgendermaßen interpretiert werden: Jede $k$ -dimensionale Mannigfaltigkeit sieh lokal (d.h. bis auf Diffeomorphismen) wie eine offene Teilmenge des $ℝ^{k}$ aus. Die Abbildung $ϕ : = ψ_{x^{'}}^{- 1}$ heißt lokale Parametrisierung. Das geordnete Paar $(V_{x^{'}}, ψ_{x^{'}})$ nennt man Karte und die Menge aller Karten ${(V_{x}, ψ_{x})}$ wird auch als Atlas bezeichnet. Die Namensgebung stammt von dem üblichen Atlas, welcher die einzelnen sich überlappenden Karten in sich vereint. Wir werden später sehen, dass die Einheitssphäre

{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in ℝ^{3} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1}

eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Wir wollen nun den Begriff der Tangentialebene definieren.

DEfiNITION 3.13.3. Sei $S$ eine $k$ -dimensionale Mannigfaltigkeit und $x^{*} \in S$ . Der Tangentialraum ist dann durch

T_{x^{*}} S = {ξ \in ℝ^{n} : ξ = \frac{D ϕ}{D (t_{1}, \dots t_{k})} |_{t = t_{0}} η, η \in ℝ^{k}}

definiert. Dabei ist $t_{0} = ϕ^{- 1} (x_{0})$ und

\frac{D ϕ}{D (t_{1}, \dots t_{k})} = (\begin{matrix} | & | \\ \frac{\partial ϕ}{\partial t_{1}} & \dots & \frac{\partial ϕ}{\partial t_{1}} \\ | & | \end{matrix}) .

Sei $γ : [- 1, 1] \to ℝ^{k}$ eine differenzierbare Abbildung mit $γ (0) = t_{0}$ . Für die entsprechende Kurve auf der Mannigfaltigkeit

ϕ \circ γ (s) = ϕ (γ_{1} (s), \dots, γ_{k} (s), 0 \dots, 0)

gilt dann

\frac{d ϕ \circ γ}{d s} (0) = \frac{D ϕ}{D (t_{1}, \dots, t_{k})} |_{t = t_{0}} \cdot \underset{= η \in ℝ^{k}}{\underset{︸}{\frac{d γ}{d s} (0)}} .

Also ist die Tangentialebene $T_{x}^{*} S$ der geometrische Ort aller Tangentialvektoren an $^{1}$ -Kurven in $S$ durch $x^{*}$ . Insbesondere ist der Tangentialraum unabhängig von der gewählten Parametrisierung und aus der obigen Definition ist offensichtlich, dass er einen $k$ -dimensionale Unterraum des $ℝ^{n}$ bildet.

Wir wollen nun begründen, warum die Enheitssphäre

{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in ℝ^{3} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1}

eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Dazu betrachten wir allgemeiner Mannigfaltigkeiten, die in ihrer impliziten Form gegeben sind. Dazu sei $F : O \subseteq ℝ^{n} \to ℝ^{k}$ eine $^{p}$ -Funktion und

S : = {x \in O : F (x) = 0}

Weiterhin setzen wir voraus, dass $F$ in allen Punkten von $S$ vollen Rang $k$ hat. Nach Definition des Rangs hat also die Jacobi-Matrix

(\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & \dots \\ \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{n}} \end{matrix}) .

vollen Rang $k$ und damit $k$ linear unabhängige Spalten. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien dies die ersten $k$ . Dann gilt

det (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k}} \\ ⋮ & \dots \\ \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{k}} \end{matrix}) \neq 0,

weshalb wir also nach $\tilde{x} = (x_{1}, \dots x_{k})$ auflösen können. Es seien $(t_{1}, \dots, t_{n - k})$ die letzen $n - k$ Koordinaten, d.h. es gilt

x = (x_{1}, \dots x_{k}, \underset{(t_{1}, \dots, t_{n - k})}{\underset{︸}{x_{k + 1}, \dots x_{n}}}) .

Dann ist die auflösende Funktion durch

x = (\tilde{x} (t), t) = ϕ (t)

gegeben, weshalb $S$ eine $n - k$ -dimensionale Mannigfaltigkeit sein muss. Um die Tangentialebene zu bestimmen, müssen wir $\frac{D x}{D (t_{1}, \dots t_{n - k})}$ bestimmen. Es gilt

\frac{D \tilde{x}}{D (t_{1}, \dots t_{n - k})} = - {(F_{\tilde{x}}^{'})}^{- 1} F_{t}^{'}

und damit

\frac{D x}{D (t_{1}, \dots, t_{n - k})} = (\begin{matrix} - {(F_{\tilde{x}}^{'})}^{- 1} F_{t}^{'} \\ 1_{n - k} \end{matrix}) .

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