Extremwerte von Funktionen mehrerer Veranderlicher

3.12. Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher

Es sei nun eine Funktion $f : G \subset E \to ℝ$ gegeben, wobei $G$ offen und $E$ ein Banachraum sei.

DEfiNITION 3.12.1. $f$ besitzt im Punkt $x^{*} \in G$ ein lokales Maximum, genau dann wenn

\begin{array}{l} \exists ϵ > 0 \forall x \in U_{ϵ} (x^{*}) \cap G : f (x^{*}) & \geq f (x) \\ und ein strenges Maximun genau dann wenn \\ f (x^{*}) > f (x) . \end{array}

Ersetzen wir $\geq$ durch $\leq$ erhalten wir ein lokales Minimum bzw. $>$ durch $<$ , erhalten wir ein strenges Minimum.

SATZ 3.12.2. Die Funktion $f$ nehme im Punkt $x^{*} \in G$ ein lokales Minimum oder Maximum an. Es existiere in Richtung $h \in E$ die Richtungsableitung $D f (x^{*}) h$ , so gilt

D f (x^{*}) [h] = 0 .

$▸$ Wir betrachten die Funktion $f (x^{*} + t h) = g (t)$ , welche ein Extremum im Punkt $t = 0$ besitzt. Weil $g$ differenzierbar in $t = 0$ ist, verwenden wir den Satz von Fermat und erhalten

0 = \frac{d g}{d t} (0) = D f (x^{*}) [h] .

$◂$
Man bemerke, dass dieser Satz ein notwendiges Kriterium für lok. Minima bzw. Maxima ist, aber kein hinreichendes, wie schon in $n = 1$ bekannt für das Beispiel $f (x) = x^{3}$ .

Spezialfall: Sei nun $E = ℝ^{n}$ und $x : = (x_{1}, \dots, x_{n})$ . Falls $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ$ einen lokalen Extremwert in $x^{*} \in U$ besitzt und falls ${\frac{\partial f}{\partial x_{j}}|}_{x = x^{*}}$ existiert, gilt

{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}|}_{x = x^{*}} = 0

für $1 \leq j \leq n$ .

KOROLLAR 3.12.3. Ist $f$ im Punkt $x^{*}$ Frechet-differenzierbar und $f$ besitze im Punkt $x^{*}$ ein lokales Minimum bzw. Maximum, so ist

{(\nabla f (x^{*}))}^{t} = f^{'} (x^{*}) = 0 \in (E, ℝ) .

DEfiNITION 3.12.4. Der Punkt $x^{*}$ heißt kritische Punkt von $f$ genau dann wenn $\nabla f (x^{*}) = 0$ , wobei in diesem Fall mit $0$ der Nullvektor im $ℝ^{n}$ gemeint ist.

Falls $f$ in $x^{*}$ differenzierbar ist, so ist $\nabla f (x^{*}) = 0$ eine NOTWENDIGE Voraussetzung für die lokalen Minima , bzw. Maxima von $f$ .

Wir leiten nun ein hinreichendes Kriterium her. Es sei nun $f \in^{2} (G, ℝ)$ mit zugehöriger Hesse-Matrix

H_{f} : = (\begin{matrix} \frac{\partial f^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial f^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{n}} & \dots & \frac{\partial f^{2}}{\partial x_{n} \partial x_{n}} \end{matrix}) .

Dann ist $H_{f}$ symmetrisch. Wir wollen nun die folgenden Begriffe aus der linearen Algebra wiederholen:

DEfiNITION 3.12.5. Die Matrix $H_{f}$ heißt positiv definit, falls ein $ε > 0$ existiert mit

⟨ H_{f} h, h ⟩ \geq ε ∥ h^{2} ∥, h \in ℝ^{n} .

Sie heißt negativ definit, falls

⟨ H_{f} h, h ⟩ \leq - ε ∥ h ∥^{2}, h \in ℝ^{n},

für ein $ε > 0$ gilt.

Damit lassen sich die folgenden hinreichenden Kriterium für die Existenz eines lokalen Extrempunktes formulieren.

SATZ 3.12.6. Es sei $f \in^{2} (G, ℝ)$ und $x^{*} \in G$ mit $\nabla f (x^{*}) = 0$ . Dann gilt:

Ist $H_{f}$ im Punkt $x^{*}$ positiv definit, so liegt im Punkt $x^{*}$ ein lokales Minimum vor.
Ist $H_{f}$ im Punkt $x^{*}$ negativ definit, so liegt im Punkt $x^{*}$ ein lokales Maximum vor.
Existieren $h_{+}, h_{-} \in ℝ^{n}$ mit $⟨ H_{f} h_{+}, h_{+} ⟩ > 0 und ⟨ H_{f} h_{-}, h_{-} ⟩ < 0,$
so kann im Punkt $x^{*}$ kein lokales Extremum vorliegen.

Wir wollen exemplarisch den 1. Fall betrachten, die anderen Fälle werden analog bewiesen. Sei also $H_{f}$ positiv definit. Dann folgt aus der Taylorschen Formel

\begin{array}{l} f (x^{*} + h) & = f (x^{*}) + \nabla f (x^{*}) \cdot h + \frac{1}{2} ⟨ H_{f} h, h ⟩ + o (∥ h ∥^{2}) \\ = f (x^{*}) + \frac{1}{2} ⟨ H_{f} h, h ⟩ + o (∥ h ∥^{2}) \\ \geq f (x^{*}) + ε ∥ h ∥^{2} + o (∥ h ∥^{2}) > 0, \end{array}

falls $h$ klein genug.

Man beachte, dass der Satz nicht alle Fälle behandelt. Die anderen Fälle sind mit dem eindimensionalen Fall vergleichbar, bei dem 1. und 2. Ableitung gleichzeitig verschwinden.

Wie lassen sich nun die entsprechenden Kriterien überprüfen? Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass sich die Hesse-Matrix (ausgewertet im Punkt $x^{*}$ ) als symmetrische Matrix diagonaliseren lässt. Also existiert ein vollständiges System aus paarweise orthogonalen Eigenvektoren zu den Eigenwerten

λ_{1} \leq λ_{2} \leq \dots \leq λ_{n} .

Dann gilt für alle $h \in ℝ^{n}$

λ_{1} ∥ h ∥^{2} \leq ⟨ H_{f} h, h ⟩ \leq λ_{n} ∥ h ∥^{2} .

Damit lassen sich die obigen Kriterien folgendermaßen umformulieren:

$H_{f}$ ist genau dann positiv definit, falls alle Eigenwerte strikt positiv sind, d.h. falls $0 < ε \leq λ_{1} \leq \dots \leq λ_{n}$ gilt.
$H_{f}$ ist genau dann negativ definit, falls alle Eigenwerte strikt negativ sind, d.h. falls $λ_{1} \leq \dots \leq λ_{n} < - ε < 0$ gilt.
Es existieren genau dann Vektoren $h_{+}, h_{-} \in ℝ^{n}$ mit $⟨ H_{f} h_{+}, h_{+} ⟩ > 0$ und $⟨ H_{f} h_{-}, h_{-} ⟩ < 0$ , falls es einen strikt negativen und eine strikt positiven Eigenwert gibt, d.h. falls $λ_{1} < 0$ und $λ_{n} > 0$ gilt.

Wir wollen nun eine einfache Methode vorstellen, mit der man diese Kriterien im 2-dimensionalen Fall nachprüfen kann, ohne explizit die Eigenwerte auszurechnen. Sei also $n = 2$ . Dann hat die Hesse-Matrix die folgende Form

H_{f} = (\begin{matrix} a & b \\ b & d \end{matrix})

Für die Eigenwerte $λ_{1}$ und $λ_{2}$ gilt

det (H_{f}) = λ_{1} \cdot λ_{2} und t r (H_{f}) = λ_{1} + λ_{2},

wobei $det (H_{f}) = a d - b^{2}$ die Determinante und $t r (H_{f}) = a + d$ die Spur der Hesse-Matrix bezeichnen. Damit haben die Eigenwerte genau dann das gleiche Vorzeichen, falls $det (H_{f}) > 0$ gilt. Ist in diesem Fall $t r (H_{f}) > 0$ , so ist die Matrix positiv definit. Analoges gilt für negative Definitheit. Dies ist der folgenden Tabelle noch einmal zusammengefasst:


	$t r (H_{f}) > 0$	$t r (H_{f}) < 0$


$det (H_{f}) > 0$	$0 < λ_{1} \leq λ_{2}$ $H_{f}$ ist positiv definit	$λ_{1} \leq λ_{2} < 0$ $H_{f}$ ist negativ definit

$det (H_{f}) < 0$	$λ_{1} < 0 < λ_{2}$

Dieser Ansatz lässt sich nicht auf den Fall $n \geq 3$ verallgemeinen. Zwar gelten analoge Formeln für die Determinante und die Spur, aber diese erlauben keine Rückschlüsse auf die Vorzeichen der einzelnen Eigenwerte.

BEISPIEL 3.12.7. Gegeben sei $f : ℝ^{2} \to ℝ$ ,

f (x, y) : = \frac{x^{3}}{3} + y^{3} - x^{2} y + x y^{2} - x + 1 .

Wir wollen die lokalen Extrema der Funktion $f$ bestimmen. Dazu berechnen wir zunächst deren kritische Punkte. Es gilt

\begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x} & = x^{2} - 2 x y + y^{2} - 1 = {(x - y)}^{2} - 1 \overset{!}{=} 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = 3 y^{2} - x^{2} + 2 x y = (3 y - x) (x + y) \overset{!}{=} 0 \end{array}

Damit ergeben sich die folgenden kritischen Punkte

(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) .

Der nächste Schritt ist die Bestimmung der Hesse-Matrix. Es gilt

H_{f} (x, y) = (\begin{matrix} 2 x - 2 y & - 2 x + 2 y \\ - 2 x + 2 y & 2 x + 6 y \end{matrix}) .

Diese muss nun in jedem der oben ausgerechneten Punkte auf Definitheit untersucht werden. Für den Punkt $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ergibt sich zum Beispiel

H_{f} (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) = (\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 2 & 6 \end{matrix}) .

Dann gilt $det H_{f} = 8 > 0$ und $t r H_{f} = 8 > 0$ . Also ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor.

AUFGABE 3.12.8. Überprüfen Sie, ob in den anderen Stellen jeweils ein lokales Minimum oder Maximum vorliegt.

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