Definitionen.

1.6.1. Definitionen.

Wir betrachten Folgen ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ mit Gliedern $a_{k} \in K^{p}$ als auch Funktionen $f : [0, + \infty [\to K^{p}$ , welche auf jedem endlichen Intervall $[0, c]$ integrierbar sind. Konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ im Sinne von Definition 1.1.1 bzw. das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ im Sinne von Definition 1.1.2, so sprechen wir auch von bedingter Konvergenz. Wir übernehmen diese Sprachregelung auch für alle anderen Typen konvergenter uneigentlicher Integrale.

DEfiNITION 1.6.1. Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert absolut genau dann, wenn die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ a_{k} ∥$ (bedingt) konvergiert. Das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ konvergiert absolut, genau dann, wenn das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} ∥ f (x) ∥ d x$ (bedingt) konvergiert.

Diese Definition läßt sich offensichtlich auch für alle anderen Typen uneigentlicher Integrale modifizierten. Dies sei dem Leser überlassen.

ANMERKUNG 1.6.2. Zur Verifikation der absoluten Konvergenz einer Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ kann man die oben formulierten Konvergenzkriterien auf die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ a_{k} ∥$ nichtnegativer Summanden anwenden.

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