Zum Zusammenhang zwischen absoluter und bedingter Konvergenz.

SATZ 1.6.3. Konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ absolut, so konvergiert diese Reihe auch bedingt.

Konvergiert das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ absolut, so konvergiert $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ auch bedingt.

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Wir beweisen die Aussage im Fall der Reihe und verwenden das Cauchy-Kriterium (1.2.1.1). Aus der Dreiecksungleichung folgt

Konvergiert

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

absolut, d.h. konvergiert

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ a_{k} ∥

, dann wird die rechte Seite von (1.6.2.1) nach (1.2.1.1) kleiner als jedes vorgegebene

ε > 0

für

m \geq n \geq N_{ε}

. Gleiches gilt damit für die linke Seite der Ungleichung, woraus wiederum nach dem Cauchy-Kriterium die bedingte Konvergenz folgt.

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AUFGABE 1.6.4. Führen Sie den Beweis für das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ . Erstreckt sich der Satz auch auf alle anderen Typen unbestimmter Integrale?

AUFGABE 1.6.5. Beweisen Sie, daß die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \pm \dots

bedingt, aber nicht absolut konvergiert. Analysieren Sie die Taylorreihe für die Funktion $f (x) = ln (1 + x)$ im Punkt $x_{0} = 0$ und zeigen Sie, daß der Restterm $r_{n} (x_{0}, h)$ d ieser Reihe für $x_{0} = 0$ , $h = 1$ und $n \to \infty$ verschwindet. Schließen Sie daraus, daß

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \pm \dots = f (1) = ln 2 .

Warum genügt es i.A. nicht, im letzten Schritt nur die Konvergenz der Taylorreihe festzustellen?

1.6.2. Zum Zusammenhang zwischen absoluter und bedingter Konvergenz.