Weitere elementare Kriterien fur absolute Konvergenz.

SATZ 1.6.6. Es sei ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ eine Folge nichtnegativer Zahlen und ${b_{k}}_{k \in ℕ}$ eine Folge von Elementen aus $K^{p}$ . Angenommen die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert und es gilt $∥ b_{k} ∥ \leq C a_{k}$ für alle $k \geq k_{0}$ . Dann konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ absolut.

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Wie im Beweis von Satz 1.6.3 folgt die Aussage aus dem Cauchy-Kriterium und der Ungleichung

AUFGABE 1.6.7. Formulieren und beweisen Sie die analoge Aussage für uneigentliche Integrale.

SATZ 1.6.8. Es sei $a_{k} \in ℂ$ , $k \in ℕ$ . Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn die beiden Reihen $\sum_{k = 1}^{\infty} ℜ a_{k}$ und $\sum_{k = 1}^{\infty} ℑ a_{k}$ absolut konvergieren. Dabei gilt

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} ℜ a_{k} + i \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} ℑ a_{k} .

(1.6.3.1)

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Angenommen die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

konvergiert absolut Wegen

| ℜ a_{k} | \leq | a_{k} |

und

| ℑ a_{k} | \leq | a_{k} |

für

k \in ℕ

konvergieren nach Satz 1.6.6 die Reihen der Real- und der Imaginärteile absolut.

Umgekehrt folgt aus der absoluten Konvergenz der Reihen

\sum_{k = 1}^{\infty} ℜ a_{k}

und

\sum_{k = 1}^{\infty} ℑ a_{k}

wegen Satz 1.2.7 die Konvergenz von

\sum_{k = 1}^{\infty} (| ℜ a_{k} | + | ℑ a_{k} |)

. Da

| a_{k} | = \sqrt{| ℜ a_{k} |^{2} + | ℑ a_{k} |^{2}} \leq \sum_{k = 1}^{\infty} (| ℜ a_{k} | + | ℑ a_{k} |), k \in ℕ,

so konvergiert nach Satz 1.6.6 die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

absolut. Die Gleichung (1.6.3.1) folgt nun aus Satz 1.2.7.

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SATZ 1.6.9. Es sei $a_{k} \in K^{p}$ , $k \in ℕ$ . Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn für alle $l = 1, \dots, p$ die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} π_{l} a_{k}$ absolut konvergiert.3Dabei gilt

π_{l} (\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} π_{l} a_{k}, l = 1, \dots, p .

AUFGABE 1.6.10. Beweisen Sie diesen Satz selbständig!

SATZ 1.6.11. Es sei $a_{k} \in ℝ$ , $a_{k}^{+} = max {0, a_{k}}$ , $a_{k}^{-} = - min {0, a_{k}}$ , $k \in ℕ$ . Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn die beiden Reihen $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{+}$ und $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{-}$ konvergieren.

| a_{k} | = a_{k}^{+} + a_{k}^{-}, a_{k}^{+} \leq | a_{k} |, a_{k}^{-} \leq | a_{k} |, k \in ℕ .

3Hier bezeichnet $π_{l} : K^{p} \to K$ die Projektion von $x = (x_{1}, \dots, x_{p}) \in K^{p}$ auf die $l$ -te Komponente $x_{l} \in K$ in kartesischen Koordination.

1.6.3. Weitere elementare Kriterien für absolute Konvergenz.