Der Umordnungssatz fur absolut konvergente Reihen.

Für absolut konvergente Reihen gilt der Umordnungssatz: Konvergenz und Wert der Reihe sind unabhängig von der Ordnung der Summanden.

SATZ 1.6.12. Es sei $a_{k} \in K^{p}$ für $k \in ℕ$ und $φ : ℕ \to ℕ$ sei eine Umordnung (eine bijektive Abbildung auf $ℕ$ ). Konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ absolut, so konvergiert auch die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ (k)}$ absolut und es gilt

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ (k)} .

(1.6.4.1)

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Nach dem Umordnungssatz 1.3.3 für Reihen mit nichtnegativen Summanden konvergieren

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ a_{k} ∥

und

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ a_{φ (k)} ∥

gleichzeitig; damit sind die Reihen

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

und

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ (k)}

gleichzeitig absolut konvergent.

Wir betrachten zunächst den Fall

a_{k} \in ℝ

. Angenommen, die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

konvergiert absolut. Nach Satz 1.6.11 konvergieren damit auch

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{+}

und

\sum_{k - 1}^{\infty} a_{k}^{-}

. Auf diese Reihen ist Satz 1.3.3 anwendbar und es gilt

Da offensichtlich

{(a_{φ (k)})}^{+} = a_{φ (k)}^{+}

und

{(a_{φ (k)})}^{-} = a_{φ (k)}^{-}

sowie

a_{k} = a_{k}^{+} - a_{k}^{-}

als auch

a_{φ (k)} = {(a_{φ (k)})}^{+} - {(a_{φ (k)})}^{-}

für alle

k \in ℕ

, so gilt nach Satz 1.2.7

Im allgemeine Fall

a_{k} \in K^{p}

folgt die Identität (1.6.4.1) nun komponentenweise aus Satz 1.6.8 und 1.6.9.

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BEISPIEL 1.6.13. Die Riemannsche Zetafunktion. Wir untersuchen die Reihe

ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}, s \in ℂ,

auf absolute Konvergenz. mit der Notation $s = σ + i t$ , $σ = ℜ s$ , $t = ℑ s$ gilt

| n^{- s} | = \frac{1}{| n^{σ + i t} |} = \frac{1}{| n^{σ} | | n^{i t} |} = n^{- σ} .

Da die harmonische Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{- σ}$ , $σ \in ℝ$ für $σ > 1$ konvergiert, so ist die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s}$ , $s \in ℂ$ , für $ℜ s = σ > 1$ absolut konvergent.

Die Riemannschen Zetafunktion $ζ (s)$ spielt in den verschiedensten mathematischen Teilgebieten eine zentrale Rolle. Mit ihr ist auch das wohl gegenwärtig berühmteste offene mathematische Problem verbunden, nachdem alle Nullstellen dieser Funktion auf der Gerade $σ = R e s = \frac{1}{2}$ liegen. Dies ist eines der sieben sogenannten Millenium-Probleme, für deren Lösung das Clay Mathematics Institute einen Preis von jeweils 1.000.000 US$ ausgeschrieben hat.

1.6.4. Der Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen.