Die Abelsche partielle Summation.

1.7.1. Die Abelsche partielle Summation.

Wir betrachten Summen vom Typ

S = \sum_{k = 1}^{m} A_{k} β_{k} = A_{1} β_{1} + \dots + A_{m} β_{m}, A_{k}, β_{k} \in ℝ .

Es sei $α_{k} = A_{k + 1} - A_{k}$ für $k \geq 1$ . Dann gilt $A_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} α_{k} + A_{1}$ . Wir betrachten außerdem die Partialsummen $B_{n} = \sum_{k = 1}^{n} β_{k}$ . Wegen

β_{k} = B_{k} - B_{k - 1} für k \geq 2 sowie β_{1} = A_{1}

kann man die Summe $S = \sum_{k = 1}^{m} A_{k} β_{k}$ wie folgt umschreiben:

\begin{array}{rcl} S & = & A_{1} B_{1} + \sum_{k = 2}^{m} A_{k} (B_{k} - B_{k - 1}) \\ = & A_{1} B_{1} + A_{2} (B_{2} - B_{1}) + \dots + A_{m} (B_{m} - B_{m - 1}) \\ = & (A_{1} - A_{2}) B_{1} + (A_{2} - A_{3}) B_{2} + \dots + (A_{m - 1} - A_{m}) B_{m - 1} + A_{m} B_{m} \\ = & \sum_{k = 1}^{m - 1} (A_{k} - A_{k + 1}) B_{k} + A_{m} B_{m} \end{array}

Die daraus folgende Formel

S = \sum_{k = 1}^{m} A_{k} β_{k} = A_{m} B_{m} - \sum_{k = 1}^{m - 1} α_{k} B_{k} = A_{m} B_{m} + \sum_{k = 1}^{m - 1} (A_{k} - A_{k + 1}) B_{k}

(1.7.1.1)

ähnelt der Formel der partiellen Integration, wenn man die Folge ${β_{k}}$ mit $g^{'}$ , ${B_{n}}$ mit $g$ , ${A_{k}}$ mit $f$ und ${α_{k}}$ mit $f^{'}$ assoziiert.

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