Das Abelsche Kriterium.

1.7.2. Das Abelsche Kriterium.

SATZ 1.7.1. Es sei ${b_{k}}_{k \in ℕ}$ eine Folge reeller Zahlen, für welche die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ bedingt konvergiert. Desweiteren sei die beschränkte Folge ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ reeller Zahlen entweder monoton wachsend oder monoton fallend. Dann konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} b_{k}$ bedingt.

$▸$ Wir beweisen den Satz für den Fall einer monoton fallenden, beschränkten Folge ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ , $| a_{k} | \leq C$ , $k \in ℕ$ .

Da $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ konvergiert, so existiert nach dem Cauchy-Kriterium für beliebiges $ε > 0$ ein $n_{ε} \in ℕ$ , so daß

|\sum_{k = n + 1}^{n + p} b_{k}| < ε für n \geq N_{ε}, p \in ℕ .

(1.7.2.1)

Wir setzen $β_{l} (n) = b_{n + l}$ und $B_{m} = \sum_{l = 1}^{m} β_{l} = \sum_{k = n + 1}^{n + m} b_{k}$ sowie $A_{l} = a_{n + l}$ . Dann gibt Formel (1.7.1.1)

\sum_{k = n + 1}^{n + p} a_{k} b_{k} = \sum_{l = 1}^{p} A_{l} β_{l} = \sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) B_{l} + A_{p} B_{p} .

(1.7.2.2)

Aus (1.7.2.1) folgt

| B_{m} | = |\sum_{k = n + 1}^{n + m} a_{k} b_{k}| < ε für m \in ℕ .

(1.7.2.3)

Aufgrund der Monotonität der Folge ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ gilt zudem

A_{l} - A_{l + 1} = a_{n + l} - a_{n + l + 1} \geq 0 .

Daraus folgt

\begin{array}{rcl} |\sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) B_{l}| & \leq & \sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) | B_{l} | \leq ε \sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) \\ = & ε (A_{1} - A_{p}) = ε (a_{n + 1} - a_{n + p}) . \end{array}

Zusammen mit (1.7.2.2) und (1.7.2.3) ergibt dies

\begin{array}{rcl} |\sum_{k = n + 1}^{n + p} a_{k} b_{k}| & \leq & |\sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) B_{l}| + | A_{p} | | B_{p} | \\ \leq & ε (a_{n + 1} - a_{n + p}) + ε | a_{n + p} | \leq 3 ε C \end{array}

für $n \geq N_{ε}$ , $p \in ℕ$ . Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert damit die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} b_{k}$ bedingt. $◂$

BEISPIEL 1.7.2. Modifizieren Sie den Beweis für den Fall einer monoton wachsenden Folge ${a_{k}}$ . Finden Sie ein Gegenbeispiel, falls die Folge ${a_{k}}$ zwar beschränkt, aber nicht monoton ist!

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