Das Kriterium von Dirichlet.

1.7.3. Das Kriterium von Dirichlet.

SATZ 1.7.3. Die Folge reeller Zahlen ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ sei monoton und es gelte $lim_{k \to \infty} a_{k} = 0$ . Desweiteren sei für $b_{k} \in ℝ$ , $k \in ℕ$ die Folge der Partialsummen ${\tilde{B}}_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ , $n \in ℕ$ , beschränkt. Dann ist die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} b_{k}$ konvergent.

$▸$ Wir betrachten den Fall einer monoton fallenden gegen Null konvergenten Folge $a_{k} \geq 0$ . Es sei $| {\tilde{B}}_{k} | \leq C$ für $k \in ℕ$ . Mit der Notation des Beweises von Satz 1.7.1 (und damit ${\tilde{B}}_{l + n} = B_{l}$ sowie $A_{l} - A_{l + 1} \geq 0$ ) gilt

\begin{array}{rcl} |\sum_{k = n + 1}^{n + p} a_{k} b_{k}| & \leq & |\sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) B_{l}| + | A_{p} | | B_{p} | \\ \leq & \sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) | B_{l} | + | A_{p} | | B_{p} | \\ \leq & C \sum_{l = 1}^{p - 1} (A_{l} - A_{l + 1}) + C | A_{p} | \\ = & C (a_{n + 1} - a_{n + p} + | a_{p} |) . \end{array}

Da $a_{n} \to 0$ für $n \to \infty$ , so folgt $|\sum_{k = n + 1}^{n + p} a_{k} b_{k}| \to 0$ für $n \to \infty$ . Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert damit die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} b_{k}$ . $◂$

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