Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten.

1.8.2. Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten.

Aufgrund der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion besteht folgender offensichtlicher Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten:

SATZ 1.8.2. Es sei $a_{k} \neq 0$ für alle $k \in ℕ$ . Das unendliche Produkt $\prod_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} ln a_{k}$ gegen einen endlichen Wert konvergiert. Dabei gilt

ln \prod_{k = 1}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} ln a_{k} .

Aus diesem Satz folgt wegen Satz 1.2.3 sofort folgende notwendige Bedingung für die Konvergenz unendlicher Produkte:

SATZ 1.8.3. Es sei $a_{k} \neq 0$ für alle $k \in ℕ$ . Falls das unendliche Produkt $\prod_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert, so gilt $lim_{k \to \infty} a_{k} = 1$ .

Die Untersuchung unendlicher Produkte kann damit auf die Untersuchung von Reihen zurückgeführt werden.

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