Zur Differenzierbarkeit.

2.8.3. Zur Differenzierbarkeit.

SATZ 2.8.2. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.8.1 sei zusätzlich die Funktion $f$ in allen Punkten $] a, b [\times [c, d]$ partiell in $x$ differenzierbar und $\frac{\partial f}{\partial x}$ sei zu einer stetigen Funktion zweier Variablen auf $[a, b] \times [c, d]$ erweiterbar. Desweiteren seien $α$ und $β$ in $] a, b [$ differenzierbar. Dann ist die Funktion

J (x) = \int_{α (x)}^{β (x)} f (x, y) d y

in allen Punkten $x \in] a, b [$ differenzierbar und es gilt

{\frac{d J}{d x}|}_{x = x^{*}} = \int_{α (x^{*})}^{β (x^{*})} \frac{\partial f (x^{*}, y)}{\partial x} d y + β^{'} (x^{*}) f (x^{*}, β (x^{*})) - α^{'} (x^{*}) f (x^{*}, α (x^{*})) .

(2.8.3.1)

$▸$ Es sei $x^{*} \in] a, b [$ . und wir verwenden die Zerlegung (2.8.2.1)-(2.8.2.4). Nach Satz 2.7.1 ist die Funktion $J_{0} (x)$ in $x \in] a, b [$ differenzierbar und es gilt

\frac{d J_{0} (x)}{d x} = \int_{α (x^{*})}^{β (x^{*})} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d y, x \in] a, b [.

An der Stelle $x = x^{*}$ liefert dies den ersten Term auf der rechten Seite von (2.8.3.1). Zur Untersuchung der Differenzierbarkeit von $J_{+} (x)$ im Punkt $x = x^{*}$ berechnen wir wegen $J_{+} (x^{*}) = 0$ den Grenzwert

\begin{array}{rcl} {\frac{d J_{+}}{d x}|}_{x = x^{*}} & = & lim_{x \to x^{*}} \frac{\int_{β (x^{*})}^{β (x)} f (x, y) d y}{x - x^{*}} \\ = & lim_{x \to x^{*}} \frac{(β (x) - β (x^{*}))}{x - x^{*}} f (x, θ (x)), \end{array}

wobei $θ (x)$ für gegebenes $x \in] a, b [$ nach dem ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung jeweils einen geeigneten Wert zwischen $β (x^{*})$ und $β (x)$ annimmt. Da $β$ stetig ist, so existiert nach dem Satz von Bolzano und Cauchy ein Punkt $\tilde{x} (x)$ zwischen $x$ und $x^{*}$ , so daß $β (\tilde{x} (x)) = θ (x)$ . Für $x \to x^{*}$ gilt dann zwangsläufig $\tilde{x} (x) \to x^{*}$ und wegen der Stetigkeit von $β$ auch $θ (x) = β (\tilde{x} (x)) \to β (x^{*})$ , so daß

{\frac{d J_{+}}{d x}|}_{x = x^{*}} = lim_{x \to x^{*}} \frac{(β (x) - β (x^{*}))}{x - x^{*}} \cdot lim_{x \to x^{*}} f (x, θ (x)) = β^{'} (x^{*}) f (x^{*}, β (x^{*})) .

Hier wurde ausgenutzt, daß zum einen $f$ eine stetige Funktion zweier Variablen ist und andererseits die Ableitung von $β$ im Punkt $x = x^{*}$ existiert. Dies entspricht dem zweiten Term auf der rechten Seite von (2.8.3.1). Auf gleichem Wege erhält man

{\frac{d J_{-}}{d x}|}_{x = x^{*}} = α^{'} (x^{*}) f (x^{*}, α (x^{*})),

was (2.8.3.1) vervollständigt. $◂$

Satz 2.8.1 und Satz 2.8.2 kann man nun wie üblich schrittweise auf Funktionen mit Werten in $K^{d}$ verallgemeinern.

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