Zur Stetigkeit.

2.8.2. Zur Stetigkeit.

SATZ 2.8.1. Es gelte

f \in C ([a, b] \times [c, d], ℝ) sowie α, β \in C ([a, b], [c, d]) .

Dann ist die Funktion

J (x) = \int_{α (x)}^{β (x)} f (x, y) d y

stetig in allen Punkten $x \in [a, b]$ .

$▸$ Wir fixieren einen Punkt $x^{*} \in [a, b]$ und setzen

J (x) = J_{0} (x) + J_{+} (x) - J_{-} (x), x \in [a, b],

(2.8.2.1)

mit

\begin{array}{rcl} J_{0} (x) & = & \int_{α (x^{*})}^{β (x^{*})} f (x, y) d y, & (2.8.2.2) \\ J_{+} (x) & = & \int_{β (x^{*})}^{β (x)} f (x, y) d y, & (2.8.2.3) \\ J_{-} (x) & = & \int_{α (x^{*})}^{α (x)} f (x, y) d y . & (2.8.2.4) \end{array}

Nach Satz 2.5.8 ist wegen $f \in C ([a, b] \times [α (x^{*}), β (x^{*})], ℝ)$ das Integral $J_{0} (x)$ in allen Punkten $x \in [a, b]$ stetig und folglich

lim_{x \to x^{*}} J_{0} (x) = J_{0} (x^{*}) = J (x^{*}) .

Desweiteren ist $f$ als stetige Funktion auf der kompakten Menge $[a, b] \times [c, d]$ beschränkt, d.h.

| f (x, y) | \leq M, x \in [a, b], y \in [c, d] .

Daraus folgt

\begin{array}{rcl} | J_{+} (x) | & \leq & \int_{β (x^{*})}^{β (x)} | f (x, y) | d y \leq M | β (x) - β (x^{*}) |, \\ | J_{-} (x) | & \leq & \int_{α (x^{*})}^{α (x)} | f (x, y) | d y \leq M | α (x) - α (x^{*}) | . \end{array}

Da die Abbildungen $α$ und $β$ insbesondere im Punkt $x = x^{*}$ stetig sind, so folgt $α (x) - α (x^{*}) \to 0$ und $β (x) - β (x^{*}) \to 0$ für $x \to x^{*}$ und damit

lim_{x \to x^{*}} J_{+} (x) = 0, lim_{x \to x^{*}} J_{-} (x) = 0 .

Dies ergibt

\begin{array}{rcl} lim_{x \to x^{*}} J (x) & = & lim_{x \to x^{*}} J_{0} (x) + lim_{x \to x^{*}} J_{+} (x) - lim_{x \to x^{*}} J_{-} (x) \\ = & lim_{x \to x^{*}} J_{0} (x) = J_{0} (x^{*}) = J (x^{*}) . \end{array}

$◂$

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