Zur Stetigkeit linearer Operatoren.

3.2.2. Zur Stetigkeit linearer Operatoren.

DEfiNITION 3.2.2. Die Stetigkeit eines Operators $T : D_{T} \to F$ in einem Punkt $y^{*} \in D_{T}$ ist wie üblich durch die Aussage

T y^{*} = lim_{y \to y^{*}} T y

definiert. Wie in Analysis 1 gezeigt, ist dies äquivalent zur $ε$ - $δ$ Definition als auch zur sogenannten Folgendefinition: Für jede Folge $y_{n} \in D_{T}$ , $y_{n} \to y^{*}$ gilt

lim_{n \to \infty} T y_{n} = T y^{*} .

SATZ 3.2.3. Es sei $T : D_{T} \to F$ ein linearer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

\begin{array}{rcl} T ist  in  einem  gewissen  Punkt y^{*} \in D_{T} stetig. & (3.2.2.1) \\ T ist  in  allen  Punkten y \in D_{T} stetig. & (3.2.2.2) \end{array}

$▸$ Offensichtlich folgt aus (3.2.2.2) sofort (3.2.2.1).

Sei umgekehrt $T$ in einem gegebenen Punkt $y^{*} \in D_{T}$ stetig. Wir zeigen, daß dann $T$ in jedem Punkt $y^{* *} \in D_{T}$ stetig ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge $y_{n} \in D_{T}$ mit $y_{n} \overset{∥ \cdot ∥_{E}}{\to} y^{* *}$ für $n \to \infty$ . Dann konvergiert $z_{n} = y_{n} + y^{*} - y^{* *} \in D_{T}$ in $E$ gegen $y^{*}$ . Aus der Stetigkeit von $T$ in $y^{*}$ folgt $T z_{n} \to T y^{*}$ für $n \to \infty$ . Die Linearität von $T$ ergibt damit

\begin{array}{rcl} T y_{n} - T y^{* *} & = & T (z_{n} - y^{*} + y^{* *}) - T y^{* *} \\ = & T z_{n} - T y^{*} + T y^{* *} - T y^{* *} \\ = & T z_{n} - T y^{*} \overset{n \to \infty}{\to} 0 . \end{array}

Folglich ist $T$ in $y^{* *}$ stetig und (3.2.2.1) impliziert (3.2.2.2). $◂$

Es genügt damit, die Stetigkeit eines linearen Operators $T$ auf seinem Definitionsgebiet $D_{T}$ in einem einzigen Punkt (z.B. $y^{*} = 0 \in D_{T}$ ) zu überprüfen.

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