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3.2.3. Beschränkte lineare Operatoren.

DEfiNITION 3.2.4. Ein linearer Operator T : DT → F heißt beschränkt, wenn eine endliche Konstante C existiert, so daß

∥Tx∥F ≤ C∥x∥E,x ∈ DT .

SATZ 3.2.5. Ein linearer Operator T : DT → F ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.

▸ Der Operator T sei beschränkt. Für jede Folge xk ∈ E mit xk → 0 gilt ∥xk∥E → 0 und wegen

∥Txk∥F ≤ C∥xk∥E

auch Txk → 0 = T0 in F. Damit ist T im Punkt y∗ = 0 ∈ D T und somit auch auf dem gesamten Definitionsbereich stetig.

Die Umkehrung beweisen wir indirekt. Es sei T unbeschränkt. Dann existiert für jedes k ∈ ℕ ein Element xk ∈ DT , xk≠0, mit

∥Txk∥F ≥ k∥xk∥E.

Wir setzen yk = ∥xk∥E−1x k, k ∈ ℕ. Dann folgt ∥yk∥E = 1 für alle k ∈ ℕ als auch

∥Tyk∥F = ∥Tyk∥F ∥yk∥E = T xk ∥xk∥E F xk ∥xk∥E E = 1 ∥xk∥ETxk F xk ∥xk∥E E = ∥xk∥E ∥xk∥E ⋅∥Txk∥F ∥xk∥E = Ak ≥ k,k ∈ ℕ.

Für zk = Ak−1y k folgt ∥zk∥E ≤ k−1 → 0 und somit zk → 0. Gleichzeitig gilt

∥Tzk∥E = ∥TAk−1y k∥E = ∥Ak−1Ty k∥E = Ak−1∥Ty k∥E = Ak−1A k = 1.

Damit haben wir eine Folge zk ∈ DT mit zk → 0 gefunden, für welche Tzk nicht gegen T0 = 0 konvergiert. Also ist ein solcher Operator T im Punkt 0 ∈ DT nicht stetig. ◂

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