Beispiele.

(I) Es sei

E = F

. Die Identität

T = I : E \to E

gegeben durch

I : x \mapsto x

x \in E

ist ein stetiger linearer Operator.

(II) Für gegebene

a_{k, l} \in K

mit

k = 1, \dots, n

und

l = 1, \dots, m

induziert die Matrix

a = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n m} \end{matrix})

die lineare Abbildung

A : ℝ^{m} \to ℝ^{n}

gegeben durch

x = (x_{1}, \dots, x_{m}) \mapsto y = (y_{1}, \dots, y_{n}) = A x

nach der Formel

y_{k} = \sum_{l = 1}^{m} a_{k l} x_{l}, k = 1, \dots, n .

AUFGABE 3.2.6. Beweisen Sie die Stetigkeit in diesen beiden Beispielen!

(III) Es sei

D_{T} = E = F = C ([a, b], ℝ)

. Für eine gegebene Funktion

φ \in C ([a, b], ℝ)

betrachten wir die Abbildung

T_{φ} : C ([a, b], ℝ) \to C ([a, b], ℝ) gegeben  durch T_{φ} u (x) = φ (x) u (x)

für

x \in [a, b]

. Dies ist offensichtlich eine lineare Abbildung. Die Abschätzung

∥ T_{φ} u ∥_{C} = max_{x \in [a, b]} | φ (x) u (x) | \leq max_{x \in [a, b]} | φ (x) | \cdot max_{x \in [a, b]} | u (x) | = C_{φ} ∥ u ∥_{C}

mit

C_{φ} = max_{x \in [a, b]} | φ (x) |

zeigt, daß

T_{φ}

beschränkt und damit stetig ist.

(IV) Es sei

E = F = C ([0, 1], ℝ)

und4

D_{d} = C^{1} ([0, 1], ℝ)

. Wir betrachten die Abbildung

d : D_{d} \to F

gegeben durch

AUFGABE 3.2.7. Zeigen Sie, daß $(d u) (0)$ die rechtsseitige Ableitung von $u$ im Punkt $0$ und $(d u) (1)$ die linksseitige Ableitung von $u$ im Punkt $1$ ist.

Der Operator

d

ist offensichtlich eine lineare Abbildung. Auf der anderen Seite ist der so definierte Operator ist nicht stetig von

D_{d} \subset C ([0, 1], ℝ)

nach

C ([0, 1], ℝ)

. Dazu betrachten wir die Funktionenfolge

f_{k} (x) = k^{- 1} sin k π x \in C ([0, 1], ℝ), x \in [0, 1], k \in ℕ .

Dann gilt

∥ f_{k} ∥_{C} = k^{- 1} \to 0

und damit

f_{k} \to 0

in für

k \to \infty

, während

(d f_{k}) (x) = f_{k}^{'} (x) = π cos k x, x \in [0, 1], k \in ℕ .

∥ d f_{k} ∥_{C} = 1

, so konvergiert

d f_{k}

nicht gegen

0

C ([0, 1], ℝ)

, also ist der Operator

d

nicht stetig von

D_{d} \subset C ([0, 1], ℝ)

nach

C ([0, 1], ℝ)

∥ f ∥_{C^{1}} = ∥ f ∥_{C} + ∥ v ∥_{C} = max_{x \in [a, b]} | f (x) | + max_{x \in [a, b]} | v (x) |

mit

v (x) = f^{'} (x)

für

x \in] a, b [

sowie

v (a) = lim_{x \to a + 0} f^{'} (x)

und

v (b) = lim_{x \to b - 0} f^{'} (x)

AUFGABE 3.2.8. Zeigen Sie, daß $∥ \cdot ∥_{C^{1}}$ eine Norm auf $C^{1} ([a, b], ℝ)$ definiert.

Es sei nun

D_{d} = E = C^{1} ([0, 1], ℝ)

und

F = C ([0, 1], ℝ)

. Wir betrachten die lineare Abbildung

d

gegeben in (3.2.4.1)-(3.2.4.2) als Operator von

D_{d} = E = C^{1} ([0, 1], ℝ)

nach

F = C ([0, 1], ℝ)

. Die Abschätzung

∥ d f ∥_{C} \leq ∥ f ∥_{C} + ∥ d f ∥_{C} = ∥ f ∥_{C^{1}}

zeigt, daß

d

zwischen diesen beiden Räumen ein beschränkter und damit stetiger Operator ist.

Das letzte Beispiel illustriert nochmals, daß die Stetigkeit einer Abbildung von der Wahl der Metrik auf dem Definitions- wie auf dem Wertebereich abhängt.

AUFGABE 3.2.9. Zeigen Sie, daß $C^{1} ([0, 1], ℝ)$ mit der Norm $∥ \cdot ∥_{C^{1}}$ ein Banachraum ist. Verwenden Sie dazu die Vollständigkeit von $C ([0, 1], ℝ)$ sowie Satz 2.6.1.

(VI) Es sei

a < b

D_{J} = E = C ([a, b], K)

und

F = K

. Wir betrachten die Abbildung

J : D_{J} \to K gegeben  durch J f = \int_{a}^{b} f (x) d x .

| J f | = |\int_{a}^{b} f (x) d x| \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x \leq (b - a) max_{x \in [a, b]} | f (x) | = (b - a) ∥ f ∥_{C}

ist

J

ein beschränkter und damit stetiger Operator von

C ([a, b], K)

nach

K

4 $C^{1} ([a, b], ℝ)$ ist die Menge aller stetigen Funktionen, welche in $] a, b [$ differenzierbar sind und deren Ableitung sich zu stetigen Funktionen auf $[a, b]$ fortsetzen lassen.

3.2.4. Beispiele.