Der Raum der stetigen linearen Operatoren.

3.2.5. Der Raum der stetigen linearen Operatoren.

DEfiNITION 3.2.10. Wir betrachten zwei normierte lineare Vektorräume $E$ und $F$ über $K$ . Mit $(E, F)$ bezeichnen wir die Menge der stetigen linearen Operatoren $T : D_{T} = E \to F$ .

Für zwei gegebene Operatoren $T_{1}, T_{2} \in (E, F)$ definieren wir deren Summe wiefolgt

(T_{1} + T_{2}) x : = T_{1} x + T_{2} x, x \in E .

Für $T \in (E, F)$ und $α \in K$ sei weiterhin $(α \cdot T)$ der Operator

(α \cdot T) x : = α \cdot (T x), x \in E .

Die Abbildungen $T_{1} + T_{2} : E \to F$ ist dann linear, denn

\begin{array}{rcl} (T_{1} + T_{2}) (α x + β y) & = & T_{1} (α x + β y) + T_{2} (α x + β y) \\ = & α T_{1} x + β T_{1} y + α T_{2} x + β T_{2} y \\ = & α (T_{1} x + T_{2} x) + β (T_{1} y + T_{2} y) \\ = & α (T_{1} + T_{2}) x + β (T_{1} + T_{2}) y \end{array}

für beliebige $α, β \in K$ sowie $x, y \in E$ .

AUFGABE 3.2.11. Zeigen Sie, daß $α T : E \to F$ ebenfalls einen linearen Operator definiert.

Die Abbildung $T_{1} + T_{2} : E \to F$ ist stetig, denn als lineare stetige Operatoren sind $T_{1}$ und $T_{2}$ jeweils beschränkt, womit nach

\begin{array}{rcl} ∥ (T_{1} + T_{2}) x ∥_{F} & = & ∥ T_{1} x + T_{2} x ∥_{F} \leq ∥ T_{1} x ∥_{F} + ∥ T_{2} x ∥_{F} \\ \leq & C_{1} ∥ x ∥_{E} + C_{2} ∥ x ∥_{E} = (C_{1} + C_{2}) ∥ x ∥_{E} \end{array}

der lineare Operator $T_{1} + T_{2}$ auch beschränkt ist.

AUFGABE 3.2.12. Zeigen Sie, daß der Operator $α T$ stetig ist.

Damit sind für $(E, F)$ die Operationen der Addition als auch der Multiplikation mit einem Skalar

+ : (E, F) \times (E, F) \to (E, F), \cdot : K \times (E, F) \to (E, F)

definiert.

AUFGABE 3.2.13. Zeigen Sie, daß die Menge $(E, F)$ mit den oben gegebenen Operationen $+$ und $\cdot$ die Struktur eines linearen Vektorraums besitzt. Das Nullelement $O \in (E, F)$ ist dabei derjenige Operator, welcher alle Elemente $x \in E$ nach $0 \in F$ abbildet.

DEfiNITION 3.2.14. Für Operatoren $T \in (E, F)$ definieren wir die Größe

∥ T ∥_{} = sup_{x \in E, x \neq 0} \frac{∥ T x ∥_{F}}{∥ x ∥_{E}} .

Da alle Operatoren $T \in (E, F)$ beschränkt sind, so ist dies eine endliche Größe.

AUFGABE 3.2.15. Zeigen Sie, daß

∥ T ∥_{} = sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} = 1} ∥ T x ∥_{F} = sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} \leq 1} ∥ T x ∥_{F}

sowie

∥ T x ∥_{F} \leq ∥ T ∥_{} ∥ x ∥_{E}, x \in E .

SATZ 3.2.16. Das Funktional $∥ \cdot ∥_{}$ definiert eine Norm auf dem Raum $(E, F)$ .

$▸$ Wir verifizieren die Axiome der Norm. Wegen $∥ T x ∥_{F} \geq 0$ und $∥ x ∥_{E} > 0$ für $x \neq 0$ folgt $∥ T ∥_{} \geq 0$ . Aus $∥ T ∥_{} = 0$ folgt $∥ T x ∥_{F} = 0$ und somit $T x = 0$ für alle $x \in E$ , d.h. $T = O$ .

Die Homogenität von $∥ \cdot ∥_{}$ folgt aus

\begin{array}{rcl} ∥ α T ∥_{} & = & sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} = 1} ∥ (α T) x ∥_{F} = sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} = 1} ∥ α (T x) ∥_{F} \\ = & sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} = 1} | α | ∥ T x ∥_{F} = | α | ∥ T ∥_{} . \end{array}

Zum Beweis der Dreiecksungleichung merken wir an, daß nach

∥ T_{1} + T_{2} ∥_{} = sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} = 1} ∥ (T_{1} + T_{2}) x ∥_{F}

für jedes $ε > 0$ ein solches $x_{ε} \in E$ , $∥ x_{ε} ∥_{E} = 1$ existiert, so daß

∥ T_{1} + T_{2} ∥_{} \leq ∥ (T_{1} + T_{2}) x_{ε} ∥_{F} + ε .

Dann gilt

\begin{array}{rcl} ∥ T_{1} + T_{2} ∥_{} & \leq & ∥ (T_{1} + T_{2}) x_{ε} ∥_{F} + ε = ∥ T_{1} x_{ε} + T_{2} x_{ε} ∥_{F} + ε \\ \leq & ∥ T_{1} x_{ε} ∥_{F} + ∥ T_{2} x_{ε} ∥_{F} + ε \\ \leq & sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} = 1} ∥ T_{1} x ∥_{F} + sup_{x \in E : ∥ x ∥_{E} = 1} ∥ T_{2} x ∥_{F} + ε \\ = & ∥ T_{1} ∥_{} + ∥ T_{2} ∥_{} + ε . \end{array}

Im Grenzwert $ε \to 0 + 0$ folgt schließlich

∥ T_{1} + T_{2} ∥_{} \leq ∥ T_{1} ∥_{} + ∥ T_{2} ∥_{} .

$◂$

SATZ 3.2.17. Ist $F$ ein Banachraum, so ist $((E, F), ∥ \cdot ∥_{})$ ebenfalls ein Banachraum.

$▸$ Wir müssen zeigen, daß jede Cauchy-Folge

{T_{n}}_{n \in ℕ} \in C F ((E, F))

gegen ein Element $T \in (E, F)$ konvergiert.

Schritt 1: Für die Cauchyfolge ${T_{n}}_{n \in ℕ}$ gilt

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{m, n \geq N_{ε}} ∥ T_{n} - T_{m} ∥_{} \leq ε .

Wegen $∥ T_{n} x - T_{m} x ∥_{F} \leq ∥ T_{n} - T_{m} ∥_{} ∥ x ∥_{E}$ folgt damit

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{m, n \geq N_{ε}} ∥ T_{n} x - T_{m} x ∥_{F} \leq ε ∥ x ∥_{E} .

(3.2.5.1)

Also ist für jedes fixierte $x \in E$ die Folge ${T_{n} x}_{n \in ℕ}$ eine Cauchyfolge in $F$ . Aufgrund der Vollständigkeit von $F$ existiert damit ein Grenzwert

t_{x} = lim_{n \to \infty} T_{n} x \in F für  jedes x \in E .

Schritt 2: Wir betrachten die Abbildung $T : E \to F$ gegeben durch

T x = t_{x} = lim_{n \to \infty} T_{n} x, x \in E .

Wir zeigen, daß $T$ ein linearer Operator ist. Tatsächlich, für $x, y \in E$ und $α, β \in K$ gilt

\begin{array}{rcl} T (α x + β y) & = & t_{α x + β y} = lim_{n \to \infty} T_{n} (α x + β y) = lim_{n \to \infty} (α T_{n} x + β T_{n} y) \\ = & lim_{n \to \infty} α T_{n} x + lim_{n \to \infty} β T_{n} y = α t_{x} + β t_{y} = α T x + β T y . \end{array}

Schritt 3: Wir zeigen nun, daß die lineare Abbildung $T$ beschränkt und damit stetig ist. Dazu merken wir zunächst an, daß die Cauchyfolge ${T_{n}}_{n \in ℕ}$ in $(E, F)$ beschränkt ist, d.h.

∥ T_{n} ∥_{} \leq C, n \in ℕ,

für ein geeignetes $C < \infty$ . Aus der Stetigkeit der Norm $∥ \cdot ∥_{F}$ folgt dann

\begin{array}{rcl} ∥ T x ∥_{F} & = & ∥ lim_{n \to \infty} T_{n} x ∥_{F} = lim_{n \to \infty} ∥ T_{n} x ∥_{F} \\ \leq & \underset{n \to \infty}{limsup} ∥ T_{n} ∥_{} ∥ x ∥_{E} \leq C ∥ x ∥_{E} \end{array}

für beliebiges $x \in E$ .

Schritt 4: Aus den letzten beiden Schritten folgt $T \in (E, F)$ . Es bleibt zu zeigen, daß ${T_{n}}_{n \in ℕ}$ in $(E, F)$ gegen $T$ konvergiert. Dazu gehen wir in (3.2.5.1) für $m \geq N_{ε}$ zum Grenzwert $n \to \infty$ über, woraus man unter der Berücksichtigung der Stetigkeit von $∥ \cdot ∥_{F}$ wegen $T_{n} x - T_{m} x \overset{n \to \infty}{\to} T x - T_{m} x$ die Beziehung

\begin{array}{rcl} ∥ (T - T_{m}) x ∥_{F} & = & ∥ T x - T_{m} x ∥_{F} = lim_{n \to \infty} ∥ T_{n} x - T_{m} x ∥_{F} \\ \leq & ε ∥ x ∥_{E} für  beliebiges x \in E \end{array}

erhält. Dies impliziert

∥ T - T_{m} ∥_{(E, F)} \leq ε für m \geq N_{ε}

und damit $T_{n} \overset{(E, F)}{\to} T$ . $◂$

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