Nullstellenberechnung

3.15 Nullstellenberechnung

In diesem Punkt setzen wir immer voraus, dass $f \in C ([a, b], ℝ) \cap C^{2} ([a, b], ℝ)$ ¹⁴ sowie $f^{'} (x) \neq 0$ und $f^{''} (x) \neq 0$ für beliebiges $x \in [a, b]$ . Damit erhält die erste Ableitung ein und dasselbe Vorzeichen im gesamten Intervall; folglich ist $f$ auf $[a, b]$ streng monoton. Gilt zudem $f (a) \cdot f (b) < 0$ , so existiert nach dem Satz von Bolzano-Cauchy eine Lösung $ξ \in] a, b [$ der Gleichung $f (ξ) = 0$ , welche aufgrund der strikten Monotonie eindeutig bestimmt ist. Wir wollen nun zwei Näherungsverfahren diskutieren, mit deren Hilfe man Nullstellen berechnen kann.

3.15.1 Die Regula falsi.
3.15.2 Das Newtonsche Verfahren.

¹⁴Die Funktionen $f^{'}$ und $f^{''}$ seien stetig auf $[a, b]$ fortsetzbar und damit als stetige Funktionen von $[a, b]$ nach $ℝ$ gegeben.

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