3.15.1  Die Regula falsi.

Die Grundidee der Regula falsi (der Sehnenmethode) besteht darin, die Kurve $\left(x,f\left(x\right)\right)$ durch die Sehne durch die Punkte $\left(a,f\left(a\right)\right)$ und $\left(b,f\left(b\right)\right)$ anzunähern. Diese Gerade ist gegeben durch

und die Gleichung $g\left(x\right)=0$, welche unser eigentliches Problem $f\left(x\right)=0$ approximieren soll, besitzt die Lösung

Aus $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0$ folgt leicht, dass $x_1=a+\theta \left(b-1\right)$ mit $\theta \in ]0,1[$ und folglich $x_1\in ]a,b[$.

Wir unterscheiden nun zwischen den folgenden vier möglichen Fällen: Für alle $x\in ]a,b[$ gilt $$\begin{array}{rcll}\text{(a)}{f}^{\prime }\left(x\right)>0\wedge f^{\prime \prime }\left(x\right)>0,& & \text{(b)}{f}^{\prime }\left(x\right)<0\wedge f^{\prime \prime }\left(x\right)>0,& \\ \text{(c)}{f}^{\prime }\left(x\right)>0\wedge f^{\prime \prime }\left(x\right)<0,& & \text{(d)}{f}^{\prime }\left(x\right)<0\wedge f^{\prime \prime }\left(x\right)<0.& \end{array}$$

Im Fall (a) bzw. (d) liegt die Sehne oberhalb einer monoton wachsenden konvexen bzw. unterhalb einer monoton fallenden konkaven Funktion. Daraus folgt $x_1\in ]a,\xi [$. Im Fall (b) bzw. (c) liegt die Sehne oberhalb einer monoton fallenden konvexen bzw. unterhalb einer monoton wachsenden konkaven Funktion, womit $x_1\in ]\xi ,b[$ gilt. Desweiteren besitzt in den Fällen (a) und (d) $f\left(x_1\right)$ das gleiche Vorzeichen wie $f\left(a\right)$ und in den Fällen (c) und (d) besitzt $f\left(x_1\right)$ das gleiche Vorzeichen wie $f\left(b\right)$. Damit kann man für (a) und (d) das Intervall, auf dem die Nullstelle gesucht wird, auf $\left[x_1,b\right]$ verkürzen, für (b) und (c) sucht man $\xi$ weiter auf $\left[a,x_1\right]$. Wendet man dieses Verfahren wiederholt an, so bleiben ja die gegebenen Monotonie- und Konvexitätsbedingungen erhalten, und die rekursiven Formeln

liefern in den Fällen (a) und (d) bzw. (b) und (c) monotone Folgen ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ mit

Als beschränkte monotone Folge besitzt ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ einen Grenzwert $x^{\ast }\in ]a,b[$. Wegen der strikten Monotonie von $f$ gilt dabei $f\left(x^{\ast }\right)\ne f\left(b\right)$ bzw. $f\left(x^{\ast }\right)\ne f\left(a\right)$. Geht man in der jeweiligen Iterationsformel zum Grenzwert $n\to \infty$ über, so erhält man

Jede dieser Aussage ist gleichbedeutend mit $f\left(x^{\ast }\right)=0$ und folglich $x^{\ast }=\xi$. Damit konvergiert die Folge ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ in jedem der Fälle (a)-(d) gegen die gesuchte Nullstelle. Eine Abschätzung für den Fehler dieser Methode erhält man aus der Formel von Lagrange

wobei der Punkt $c=c\left(\xi ,x_n\right)$ zwischen den Zahlen $x_n$ und $\xi$ liegt. Daraus folgt wegen $f\left(\xi \right)=0$ sofort¹⁵