Das Kriterium von Dirichlet fur uneigentliche Integrale.

1.7.5. Das Kriterium von Dirichlet für uneigentliche Integrale.

SATZ 1.7.5. Es sei $a : [0, + \infty [\to ℝ$ eine nichtnegative, monoton fallende Funktion und es gelte $lim_{x \to + \infty} a (x) = 0$ . Desweiteren sei $b : [0, + \infty [\to ℝ$ eine reellwertige und auf jedem endlichen Intervall integrierbare Funktion. Es existiere eine Konstante $C < \infty$ mit der Eigenschaft

|\int_{A}^{B} b (t) d t| \leq C für  beliebige B \geq A \geq 0 .

Dann konvergiert das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} a (x) b (x) d x$ .

$▸$ Wir wenden das Cauchy-Kriterium des Satzes 1.2.1.2 zur Konvergenz uneigentlicher Integrale an. Nach dem zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt

\int_{A_{1}}^{A_{2}} a (x) b (x) d x = a (A_{1}) \int_{A_{1}}^{ξ} b (t) d t + a (A_{2}) \int_{ξ}^{A_{2}} b (t) d t

für geeignetes $ξ \in [A_{1}, A_{2}]$ . Da der Absolutbetrag der beiden Integrale $\int_{A_{1}}^{ξ} b (t) d t$ sowie $\int_{ξ}^{A_{2}} b (t) d t$ durch die Konstante $C$ beschränkt ist und da weiterhin $a (A) \to 0$ für $A \to \infty$ , so folgt für beliebiges $ε > 0$

|\int_{A_{1}}^{A_{2}} a (x) b (x) d x| = C (a (A_{1}) + a (A_{2})) < ε

für alle $A_{2} \geq A_{1} \geq A_{ε}$ . Dies entspricht dem Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale. $◂$

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