Die Taylor’sche Formel

3.8. Die Taylor’sche Formel

3.8.1. Zum Begriff des Differentials
3.8.2. Invarianz des ERSTEN Differentials

SATZ 3.8.1. Sei $f : U \subset E \to F$ mit $U$ offen. Angenommen eine Strecke $\bar{x_{0}, x_{0} + h}$ verläuft komplett in $U$ und $f$ ist auf $U$ mindestens $(n + 1)$ -fach stetig differenzierbar, so gilt

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x_{0}) h^{k} + r_{n}, \end{array}

wobei sich der Restterm $r_{n}$ als

\begin{array}{rcl} r_{n} (x_{0}, h) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} f^{(n + 1)} (x + t h) h^{n + 1} {(1 - t)}^{n} d t = O (∥ h ∥^{n + 1}), h \to 0, \end{array}

schreiben lässt.

Wir werden diesen Satz hier nicht beweisen. Der Beweis erfolgt aber durch Reduktion der Aussage auf den eindimensionalen Fall indem man eine Richtung vorgibt und alle übrigen Variablen festhält. Zusammen mit dem Lemma von Hahn-Banach lässt sich dann der Beweis für den eindimensionalem Fall wiederholen.

Spezialfall:
Wir betrachten wieder eine Funktion $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ$ . Was bedeuten dann die ersten Terme in der Taylorreihe? Dazu erinnern wie nocheinmal an die Frechet-Ableitung

\begin{array}{rcl} f^{'} (x_{0}) h = D f (x_{0}) [h] & = & \sum_{k = 1}^{n} {\frac{\partial f}{\partial x_{k}}|}_{x = x_{0}} h_{k} = {<\nabla f (x_{0}), h>}_{ℝ^{n}} \\ = & {<h, \nabla>}_{ℝ^{n}} f = (h_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \dots + h_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}) f \end{array}

mit $h = (h_{1}, \dots, h_{n})$ . Für den zweiten Term ergibt sich

\begin{array}{rcl} f^{″} (x_{0}) h^{2} & = & \sum_{k, l = 1}^{n} \frac{\partial f (x_{0})}{\partial x_{k} \partial x_{l}} h_{k} h_{l} = {<H (x_{0}) h, h>}_{ℝ^{n}} \\ = & (\sum_{k = 1}^{n} h_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \sum_{l = 1}^{n} h_{l} \frac{\partial}{\partial x_{l}}) f = {<h, \nabla> <h, \nabla> f|}_{x = x_{0}} \end{array}

bei Stetigkeit der zweiten Ableitungen, da im vorletzten Schritt die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht wurde. Setzen wir dieses Chema fort, so erhalten wir

\begin{array}{rcl} f^{(k)} (x_{0}) h^{k} = \underset{k}{\underset{︸}{<h, \nabla> \dots <h, \nabla>}} f |_{x = x_{0}} \end{array}

und die Formel von Taylor nimmt die Gestalt

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + \sum_{k = 1}^{n} {\frac{{<h, \nabla>}^{k}}{k!} f|}_{x = x_{0}} + r_{n} \end{array}

an. Falls $r_{n} (x_{0}, h) \to 0$ für $n \to \infty$ , so sagen wir, dass $f$ durch die Taylorreihe darstellbar ist und wir erhalten

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) = {(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{<h, \nabla>}^{k}}{k!}) f|}_{x =_{0}} = {e^{<h, \nabla>} f|}_{x = x_{0}} . \end{array}

Im Augenblick ist dies eine rein symbolische Schreibweise. Ähnlich wie man in der Linearen Algebra Matrizenexponentialfunktionen berechnen kann, ist diese Formel jedoch auch ein Schritt in die Richtung Exponentialfunktionen von Operatoren zu berechnen.
Ausgeschrieben lauten die ersten Terme der Taylorreihe

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = <\nabla f (x_{0}), h> + \frac{1}{2} <H_{f} (x_{0}) h, h> + o (∥ h ∥^{2}), h \to 0, \end{array}

hierbei bezeichnet $H_{f} (x_{0})$ die Hesse-Matrix.

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